一個辛流形（M，ω）是一個帶有非退化且封閉的2-形式ω的光滑流形M。根據Darboux的定理，這樣的流形在局部上看起來像某個開集在一個ℝ^2ⁿ≅ℂⁿ中，並帶有標準的辛形式
ω₀ = ∑︀ⱼ₌₁ⁿ dxⱼ ∧ dyⱼ
因此，辛流形在局部上沒有局部不變量。這與黎曼流形形成鮮明對比，對於黎曼流形，黎曼度量具有各種曲率不變量。然而，辛流形確實具有許多全局數值不變量，其中最著名的是所謂的辛容量。
辛容量是由I. Ekeland和H. Hofer於1990年引入的（儘管第一個容量實際上是由M. Gromov構造的）。從那時起，已經定義了許多新的容量
（CM-03a，FHW94，FS，Hofer90，HZ90，LP2004，Lu98，Schwarz00，V）
並且在以下文章中進一步研究了這些容量
（Bates95，Bates98，BC，BPS，CM-03b，EH93，EM92，FHV90，FGS，G03，GG，GK99，He00，
He-inner，Hermann，Hofer93，HV92，HZ，
Jiang93，LM95，LM95b，LP，Lu02，Mac，Mac2，Mac3，MaS，MMT，Mc91b，MS01，McTr，Neduv01，Sch，Sch1，Siburg93，Sikorav90，Tokieda，Viterbo89，Viterbo90）。
有關辛容量的綜述
（Hofer90b，HZ，Lalonde97，Mc99，Viterbo89）。
不同的容量以不同的方式定義，因此容量之間的關係通常導致辛幾何和哈密頓動力學的不同方面之間的驚人關係。這在第\ref{s:caps}節中有所說明，其中我們討論了一些辛容量的示例並描述了它們存在的一些結果。
在第\ref{s:relations}節中，我們嘗試更好地理解所有辛容量的空間，並討論了一些辛容量的進一步一般性質。
在第\ref{s:EP}節中，我們描述了橢球和多邊形上某些辛容量之間的幾個新關係。
在討論中，我們提到了許多未解決的問題。
如下所示，辛幾何的許多定量方面可以用辛容量來表述。當然，辛流形還有其他數值不變量，可以納入定量辛幾何的討論中，例如從哈密頓微分同胚群的雙不變度量推導出的不變量
（Hofer90，Polterovich-spec，Polterovich-book），以及格羅莫夫-威廉不變量。它們與辛容量的關係尚不清楚，我們在這裡不討論它們。
我們從簡要描述辛幾何與相鄰領域的關係開始。
辛幾何與鄰近領域的關係
辛幾何是一門相當新穎且快速發展的數學學科。《辛爆炸》（Eliashberg）中描述了「辛爆炸」現象。辛流形的例子包括：
開子集於ℝ²ⁿ中，其中 Ω₀ 是標準的辛形式；
以誘導的辛形式為載體的Ɐ(ℝ²ⁿ/ℤ²ⁿ)上的環面；
具有面積形式的曲面；
象複射影空間 ℂℙⁿ 這樣的凱勒流形，其帶有凱勒形式；
具有規範辛形式的餘切空間。
通過取積和更複雜的構造，我們可以獲得更多的例子，例如辛爆炸。
A diffeomorphism φ on a symplectic manifold (M, ω) is called "symplectic" or a "symplectomorphism" if φ*ω = ω.
辛幾何的一個迷人特點在於它位於許多其他數學學科的交叉點上。在本節中，我們提到了一些這樣的互動示例。
Hamiltonian dynamics（哈密頓動力學）
辛幾何起源於哈密頓動力學，而哈密頓動力學起源於天體力學。對於辛幾何流形 (M, ω) 上的時變哈密頓函數 H，它是一個對時間和流形的光滑函數 H：ℝ × M → ℝ。由於 ω 是非退化的，方程式
ω(X_H, ·) = dH(·)
定義了一個時間相依的光滑向量場 X_H 在 M 上。在 H 的適當假設下，該向量場生成了一族稱為「哈密頓流」的微分同胚 φ_H^t。很容易看出，每個映射 φ_H^t 都是辛的。M 上的「哈密頓微分同胚」 φ 是形如 φ_H^1 的微分同胚。
辛幾何是哈密頓系統的基礎幾何學。事實證明，這種基於幾何的方法對於哈密頓系統非常有成效。具體示例將在下面的第 s:caps 節中討論。
體積幾何（Volume geometry）
對於流形 M 上的體積形式 Ω，它是一個最高維且處處非零的微分形式，而 M 的微分同胚 φ 是「保體積」的，如果 φ*Ω = Ω。遷移動力學研究保體積映射的性質。這些結果適用於辛映射。事實上，由於辛形式 ω 是非退化的，所以 ωⁿ 是一個體積形式，在辛同胚下保持不變。在二維情況下，辛形式就是體積形式，因此辛映射就是保體積映射。然而，在維度為 2n ≥ 4 的情況下，辛映射要特殊得多。這方面的一個幾何示例是 Gromov 的非壓縮定理（Nonsqueezing Theorem），在 s:gromov-radius 中將進行介紹，而一個動力學的示例則是（部分解決的）Arnol'd 猜想，該猜想聲稱閉辛流形上的哈密頓微分同胚至少具有與光滑函數的臨界點數量相同的固定點。關於遷移動力學與辛幾何之間的另一個聯繫，請參見文獻 \cite{Polterovich-loops}。
接觸幾何學
接觸幾何學起源於幾何光學。一個接觸流形 (P, α) 是一個 (2n-1)-維流形 P，配備了一個 1-形式 α，使得 α ∧ (dα)^(n-1) 是 P 上的體積形式。該流形上的向量場 X，由 dα(X, ·) = 0 和 α(X) = 1 定義，生成所謂的 Reeb 流。將一個時間獨立的哈密頓系統限制在能量曲面上有時可以實現為接觸流形上的 Reeb 流。接觸流形也自然出現為對稱流形的邊界。可以通過使用其拓展空間的方法，如觀察其拓展空間 (P × ℝ, d(e^tα))，來通過對稱方法研究接觸流形，參見文獻 \cite{Hofer93a, EGH}。
代數幾何學
代數幾何學
特殊類型的對稱流形是克拉對稱流形。這樣的流形（更一般地說，複流形）可以通過觀察其中的全純曲線來研究。M. Gromov \cite{Gr} 觀察到，在克拉背景下使用的某些工具可以適應對對稱流形的研究。他的開創性工作的一部分發展成為現在所謂的Gromov-Witten理論，參見文獻 \cite{MS2004} 進行介紹。
許多其他從複幾何學中獲得的技巧和構造在對稱幾何學中也很有用。例如，存在一個對稱版本的吹奏操作，與對稱填充問題緊密相關，參見文獻 \cite{Mc91,MP94} 和下面的 \ref{ell:dim4}。另一個例子是Donaldson對對稱子流形的構造，參見文獻 \cite{Donaldson}。
{\bf 黎曼和譜幾何。}
回顧一下光滑流形 M 的可微結構，
會在其對偶切捲積束 Tᴹ 上產生一個自然的輪廓形式。
給予一個黎曼度量 g 在 M 上等價於規定其單位餘切球束 S₉⁎ᴹ ⊂ Tᴹ，
而從 T*ᴹ 的輪廓 1-形式的限制則賦予 S⁎ᴹ 一個聯絡流形的結構。
S₉⁎ᴹ 上的里布流即為浸入其中的測地線流（自由粒子運動）。
在稍微不同的方向上，每個流形 M 上的輪廓形式 ω 區分了黎曼度量的類，
這些黎曼度量可以寫為 ω ( J ⋅ , ⋅ ) 的形式，其中 J 是某個幾乎複結構。
這些（以及其他）在輪廓和黎曼幾何之間的聯繫絕非完全被探索，
我們相信這方面仍有很多待發現的地方。以下是一些已知結果的例子，
涉及黎曼幾何和輪廓幾何的各個方面。
\smallskip
{\it 1. 拉格朗日子流形。}
若 (M, ω) 中的一個維度中間子流形 L 滿足 ω 在 TL 上為零，
則稱之為{\it 拉格朗日子流形}。
{\it (i) 體積。}
將複射影空間 ℂℙⁿ 配上通常的凱勒度量和凱勒形式。
子流形的體積是相對於這個黎曼度量來考慮的。
根據 Givental-Kleiner-Oh 的結果，
在所有的哈密頓形變中，標準的 ℝℙⁿ 在 ℂℙⁿ 中擁有最小的體積。
關於 Clifford 鉤面在 ℂℙⁿ 中的部分結果可參考 \cite{Goldstein-03}。
在 S²×S² 中形成的由赤道線組成的鉤面 S¹×S¹ 也是在其哈密頓形變中體積最小的，
\cite{IOS}。
如果 L 是閉拉格朗日子流形，
存在一個只取決於 L 的常數 C 使得對於 L 的所有哈密頓形變，
以下不等式成立：
vol(φ H (L))≥C
{\it (ii) 平均曲率。}
在凱勒-愛因斯坦流形中，拉格朗日子流形 L 的平均曲率形式可以通過 L 的輪廓不變量來表示，參考 \cite{CG-04}。
%\smallskip
{\it 2. 拉普拉斯算子的第一個本徵值。}
輪廓方法可用於估計某些黎曼流形上函數的拉普拉斯算子的第一個本徵值，參考 \cite{Polterovich-eigenvalue}。
\smallskip
{\it 3. 短撞球軌跡。}
考慮一個有光滑邊界的有界域 U ⊂ ℝⁿ。
在閉包 $\overline{U}$ 上存在一條長度為 l 的週期性撞球軌跡，
滿足以下不等式：
l_n≤C_nvol(U)
在本節中，我們給出較正式的輪廓容量定義，並討論一些例子以及樣本應用。
\subsection{定義}
記 Symp⁽²ⁿ⁾ 為所有維度為 2n 的輪廓流形組成的類別，其中輪廓嵌入作為態射。一個「輪廓類別」是 Symp⁽²ⁿ⁾ 的一個子類別，滿足對於所有 α > 0，(M,ω) ∈ CC 蘊含著 (M,αω) ∈ CC。
%此外，我們假設所有的 ℂⁿ 中的橢圓體都是 CC 的對象，所有橢圓體的線性輪廓嵌入都是態射，對於每個 (M,ω) ∈ CC，存在 r > 0 和一個態射 B(r²) ⟶ (M,ω)。
Throughout the paper we will use the symbol ⟶ to denote
symplectic embeddings and → to denote morphisms in the category CC
(which may be more restrictive).
%%!
By viewing a symplectic form as a section in the bundle
of 2-forms and embedding this bundle into some ℝᴺ, we may
consider Symp⁽²ⁿ⁾ as a subset of some ℝᴺ. Hence the objects
of each symplectic category form a set.
%%
令 B⁽²ⁿ⁾(r²) 表示半徑為 r 的開球在 ℝ²ⁿ 中，Z⁽²ⁿ⁾(r²) = B²(r²) × ℝ²ⁿ⁻² 表示開圓柱體（以下對此符號的原因將變得明顯）。
除非另有說明，ℝ²ⁿ 的開子集總是配備有標準輪廓形式 ω₀ = ∑ⱼ⁼¹ⁿ dyⱼ ∧ dxⱼ。
在上下文清楚的情況下，我們將省略維度 2n，並簡寫為
B = B⁽²ⁿ⁾(1)，Z = Z⁽²ⁿ⁾(1)。
