一、引言
多年來，自旋、荷、軌域和晶格自由度之間複雜的相互作用在過渡金屬氧化物中引發了豐富的異常相和物理現象（Tokura和Nagaosa，2000年）。與通常具有剛性結構的半導體材料不同，在過渡金屬氧化物中，各種相互作用的能量（庫仑排斥、軌域帶寬、晶場分裂、彈性應變、Hund交換等）往往相近。此外，它們在大多數情況下是相互耦合的，產生強烈的電子-聲子、自旋-聲子、自旋-軌道、電子-自旋或極化-應變耦合（Rondinelli和Spaldin，2011年）。由於這些相互作用之間的微妙平衡，許多系統表現出各種相變，產生一系列競爭的相。小的外部扰動（由溫度、應變或壓力、電場或磁場、掺雜、化學組成等驅動）能夠誘導相變，產生可調的有序性和性質，以及可用於多功能器件設計的巨大響應。因此，不足為奇的是，在過去幾十年中，凝態物理學的一些重要發現出現在豐饒的過渡金屬氧化物領域。其中最著名的例子是高溫超導（Dagotto，1994年），由Bednorz和M ¨uller（1986年）在陶瓷銅氧化物中發現。幾年後，在另一類氧化物（混合價錳酸鹽）中發現了巨大的場驅動磁電阻效應（Jin等，1994年；Uehara等，1999年），即在材料中施加磁場可以使電阻以數個量級變化。在形貌相界面上也報告了巨大的電機械響應（Noheda等，1999年；Bellaiche，García和Vanderbilt，2000年），為某些氧化物顯示的鐵電極化提供了連續的路徑，並產生巨大的壓電響應。此外，不同的金屬-絕緣體相變機制，包括電子量子液晶相的形成（Kivelson，Fradkin和Emery，1998年），已在d-電子氧化物系統中得到討論（Imada，Fujimori和Tokura，1998年）。其他氧化物展示了多鐵性（即它們在同一相中具有兩個或更多主要鐵性性質，例如磁性和鐵電性），並由於它們共存的序參數之間的耦合而呈現出異常的物理性質（Wadhawan，2000年；Fiebig，2005年；Spaldin和Ramesh，2019年）。更重要的是，在觀察到氧化物界面上的異常現象時，打開了對於新的有趣展望，這得益於在原子層面上的外延生長控制（Zubko等，2011年）。界面破壞了平移對稱性，並可能允許鄰近層之間的新耦合，這對於異質結構的性質至關重要，最終決定了它們的性能。有時會出現全新且意想不到的現象，展示出與相應的散體材料完全不同的新功能性。這些包括在兩個大帶隙絕緣氧化物（LaAlO3和SrTiO3）界面之間出現二維電子氣（Ohtomo和Hwang，2004年；Thiel等，2006年；Reyren等，2007年），以及由於氧八面體旋轉（主序參數）與極化（依賴序參數）的耦合，在短周期PbTiO3=SrTiO3超晶格中出現不恰當鐵電性（Bousquet等，2008年）。
多功能複合氧化物領域最近的一項突破之一與鐵電性有關，鐵電性是由Valasek在100年前首次發現的，他觀察到Rochelle鹽具有一種自發極化，可以在足夠大的外部電場下反轉，產生類似於鐵磁材料磁化度對磁場的磁滯回線（Valasek，1921年）。
鐵電材料具有形成領域（均勻極化的局部區域）的趨勢，以減少發生在表面的去極化場。均勻領域是最常見的排列方式。然而，近年來發現了複雜的極化模式，包括磁通閉合（flux-closure）（Jia等，2011年；Tang等，2015年）、渦旋（vortex）（Naumov，Bellaiche和Fu，2004年；Yadav等，2016年）、天線子（skyrmion）（Nahas等，2015年；Das等，2019年；Pereira Gonçalves等，2019年；Nahas，Prokhorenko等，2020年）、梅龍（meron）（Nahas，Prokhorenko等，2020年；Wang等，2020年；Shao等，2023年）和霍普芬（hopfion）（Luk'yanchuk等，2020年），等等。其中一部分進展已經進行了評論（Gregg，2012年；Seidel，Vasudevan和Valanoor，2016年；Zheng和Chen，2017年；Das等，2018年，2020年；Hlinka和Ondrejkovic，2019年；Ramesh和Schlom，2019年；Nataf等，2020年；Chen等，2021年；Tang，Zhu和Ma，2021年；Tian等，2021年；Fernandez等，2022年；Guo等，2022年；Wang等，2023年）。
拓撲在我們對許多物理系統的理解中扮演了關鍵角色（Mermin，1979年），從晶體固體中位錯的作用及其對金屬在應力下的強度和可塑性的影響，到超導體和超流體的序參數場中存在著渦旋線的存在，這是20世紀中期首次研究的主題（Halperin，2020年）。在其他鐵性系統中，特別是鐵磁體中，早在十多年前就觀察到了複雜的自旋拓撲結構，例如磁通閉合領域（Runge等，1996年）、渦旋（Shinjo等，2000年；Wachowiak等，2002年；Park等，2003年）和天線子（Rößler，Bogdanov和Pfleiderer，2006年；Mühlbauer等，2009年；Neubauer等，2009年；Pappas等，2009年；Yu等，2010年）。在大多數情況下，這些自旋結構源於交換相互作用（趨於使自旋共線排列）、相對論性Dzyaloshinskii-Moriya（DM）相互作用（使自旋傾斜並產生手性結構的旋轉），以及長程磁偶極相互作用，通常伴隨著熱激活和外部場的存在（Nagaosa和Tokura，2013年）。自從它們首次被觀察以來，這些自旋結構就引起了很多興趣。特別吸引人的是它們在新型自旋電子器件（Fert，Cros和Sampaio，2013年）中的潛在應用，從中受益於它們在高密度數據存儲（Parkin，Hayashi和Thomas，2008年）中的穩定性，或者控制這些類似粒子的磁性奈米結構在邏輯器件中的運動（Omari和Hayward，2014年）。此外，已經制定了一個專門的路線圖，以捕捉目前的最新技術和正在進行的廣泛研究方向和策略（Back等，2020年）。
自本世紀初以來，揭示鐵電材料中出現的複雜拓撲偶極子排列的存在，即電極化的異常自旋拓撲結構，一直是研究的熱門話題。這些極化拓撲結構在超快速（聲子頻率通常在太赫茲範圍內）和高密度存儲（由於其較小的尺寸）器件中具有潛在優勢。但是，創建具有拓撲非平凡性的鐵電結構的確定方法遠非明顯。常識認為，在鐵電材料中，這種非平凡結構將具有過高的能量成本。主要原因是主要的序參數（極化）與晶格強烈耦合，導致結構和偶極子各向異性的重要作用。因此，局部極化的平滑連續演變以產生拓撲保護結構將產生巨大的彈性能量懲罰（Das等，2020年；Martin，2021年）。然而，理論預測最終隨著材料的實驗合成和表徵而得以實現，我們已經克服了這些障礙，非平凡的極化模式現在在鐵電奈米結構中經常觀察到，其中材料的電、彈性和梯度能量以極其平衡的方式競爭。
事實上，這是奈米尺度物理學中一個特別激動人心的問題，因為材料制備和表徵的實驗進展與鐵電理論建模的巨大進步相結合。理論家和實驗家終於能夠在相同的尺度上進行工作。這使得理論和實驗之間實時反饋成為可能，新的發現在實驗室和計算機上都經常被發現（Ahn，Triscone和Mannhart，2003年；Ahn，Rabe和Triscone，2004年）。
在這篇綜述中，我們總結了過去二十年來揭示新型非平凡極化拓撲結構存在的努力。該研究努力的初始步驟摘要在第二節中呈現。第三節提供了理解本文中討論的重要思想所需的拓撲概念入門（同伦類和它們的指數特征、新型环状特征、拓撲相變等）。非平凡的結構是不同相互作用之間微妙平衡的結果。最重要的相互作用及其在新相位穩定中的相對重要性在第四節中進行了回顧。這些發現得以實現是因為新的實驗合成和表徵技術的出現，這些技術與改進的理論框架同步發展。第一篇補充材料的第一節概述了關鍵方法。第五節考慮了在鐵性超晶格和其他低維形式（薄膜、線和點）中設計和研究新型拓撲物態和新興現象的工作，利用能量尺度之間的固有競爭的可能性。最後，我們以一個總結和一些展望來結束這篇綜述。
II. 概述：非平凡拓撲在鐵電材料中的初現
類似渦旋的結構在自然界中出現在不同的情境中，包括旋轉的星系、強烈的風暴和颶風、攪拌的流體、漩渦和煙圈等。它們引起了科學家和哲學家的興趣，從古希臘到勒内·笛卡爾，在他的著作《世界論》中，他用它們來描述行星圍繞太陽的軌道。在凝聚態物理中，渦旋也是一個有趣的現象。量子渦旋代表著某種物理量（量子角動量）的量化流動，奧恩薩格在1949年預測了這種渦旋與超流體氦（量子磁通）的關聯（Onsager, 1949）。幾年後，阿布里科索夫將其應用於解釋二型超導體的磁相圖（量子磁通）（Abrikosov, 1957）。在1930年代的薄膜鐵磁體（Landau and Lifshitz, 1935）和1940年代的鐵磁體中，已經預測了磁磁通路幾乎完全位於樣品內的磁磁通配置（Kittel, 1946）。
這些渦旋形成的基本物理機制在前述例子中各不相同。在大多數情況下，基本要素是速度場（例如，在浴缸中的流體渦旋）。在磁渦旋的情況下，它是以渦旋模式呈現的自旋排列。此外，所有前述渦旋狀結構的尺度差異數量級，表明驅動此類模式形成的能量尺度範圍相似。
在這裡，我們探討類似的狀態是否存在於鐵電材料中，這是在本世紀初首次進行的研究。常規智慧指出，磁晶體中的局部電子自旋（作為一種基本量子機械量）是固定的。相反，電偶極矩是由局部對稱性偏極晶格變形產生的，其振幅可以連續變化。的確，過去的工作（Meyer and Vanderbilt, 2002）引用了這種偶極矩的"可變性"，即在鐵電異性領域壁上，極化軸向不改變方向，而只是大小減小、改變符號，然後再增加。然而，越來越明顯的是，這種"可變"的鐵電自發偶極矩的圖像可能無法捕捉到許多鐵電材料的行為。其中一個典型的例子是被廣泛研究的多鐵BiFeO3，它表現出大的自發偶極化（約90 μC/cm2）以及同樣大的自發變形。Kubel和Schmid（1990）的早期工作指出了一些令人困惑的方面，即極化發生旋轉而不是在切換過程中經歷極化消失的高對稱狀態。事實上，這已經通過實驗測量和第一原理理論計算（Heron et al., 2014）得到了直接證實。隨後，對於其他鐵電系統（例如PbTiO3）也討論了極化旋轉的幾個其他情況[Wojdeł and Íñiguez, 2014]。因此，回顧起來，鐵電材料，特別是在受限尺寸中，可能展現出這種旋轉模式，即自發極化的旋轉，並不令人驚訝。
A. 纳米鐵電材料中的消屏脫極化場問題
20世紀末和21世紀初的轉變見證了在合成複雜氧化物異質結構方面的許多突破，將這一領域帶入了全新的高度（Dawber, Rabe, and Scott, 2005; Schlom et al., 2007; Mannhart and Schlom, 2010），詳見補充材料I.A.1 (472)。單晶氧化物基片的表面具有原子級平整度，薄膜外延生長的巨大進展也為生長高質量的多層和超晶格材料打下了基礎（Posadas et al., 2007），使得能夠在奈米尺度上結合具有不同功能特性（鐵電材料、高溫超導體和磁體）的化合物成為可能，從而為創造人工多功能材料和器件提供了巨大的新可能性，完全依賴於界面效應來進行全新性能的工程。
對於鐵電材料，多年來的焦點一直是極化的尺寸依賴性。主要挑戰是確定一個高質量的奈米點或奈米圓片（零維），奈米線（一維）或薄鐵電膜（二維）與只有幾個奈米的特徵尺寸能否在單一領域結構中保持可切換的極化狀態。普遍認為，由於鐵電材料表面上未屏蔽的束縛荷產生的消屏脫極化場足夠強，完全抑制了單一領域極化狀態的存在。事實上，極化狀態的存在與否在很大程度上取決於這個有害場是否被屏蔽。屏蔽可以通過金屬電極提供的自由荷（Batra and Silverman, 1972; Batra, Wurfel, and Silverman, 1973; Mehta, Silverman, and Jacobs, 1973; Dawber et al., 2003），大氣吸附物（Spanier et al., 2006; Wang et al., 2009），電極共享鐵電材料的離子位移（Chisholm et al., 2010），氧空位（Wang et al., 2009; Chisholm et al., 2010）以及將鐵電材料本身視為半導體時考慮的移動荷（Lichtensteiger et al., 2012）進行屏蔽。但即使考慮到完美的金屬電極，屏蔽荷也會在一個小但有限的界面區域內分佈（Junquera and Ghosez, 2003; Bratkovsky and Levanyuk, 2009），產生一個非零的有效屏蔽長度，從而極大地改變超薄膜的性質。為了在單一領域結構中進一步減小消屏脫極化場，需要在設計上考慮屏蔽荷的自由分佈。雖然預測的渦旋的淨極化消失了，但出現了描述旋渦次序的新參數。引入了反映極化旋轉方向的環狀矩，以及捕捉微小局部特徵（如渦旋中心之間的距離和具有相反電環狀矩的渦旋對的電偶極大小）的高環狀矩（Prosandeev和Bellaiche，2008b）。值得注意的是，在某些系統中，這些特徵被證明具有與常規次序參數相似的動態特徵（Gui和Bellaiche，2014）。第三部分中討論了這兩個參數的嚴格定義和應用。
此外，原子尺度的計算與分析性發展相結合，以確定具有電渦旋的系統中新的張量的存在（Prosandeev，Kornev和Bellaiche，2007）：一個稱為壓電環狀張量，它將應力和電環狀矩關聯起來（直接壓電環狀效應），或者將應變和電場旋度關聯起來（逆壓電環狀效應），以及第二個稱為電環狀磁化率的張量，它將環狀矩和電場旋度相關聯。這兩個張量可以自然地被認為是通常鐵電材料中著名的壓電和介電磁化率張量的推廣（其次序參數是電極化而不是環狀矩）。此外，除了將鐵電材料納入能夠顯現渦旋的材料類別之中，這些開創性的工作還提出了有趣的潛在應用（Naumov，Bellaiche和Fu，2004）。在這個層次上，從順時針到逆時針控制這些渦旋的“旋轉方向”，以翻轉電環狀矩是非常重要的。根據原子尺度的模擬，快速提出了幾種途徑，包括捲曲的電場（Naumov和Fu，2008），橫向不均勻靜電場（Prosandeev等，2006），甚至是非對稱鐵電奈米環中的均勻電場（Prosandeev，Ponomareva，Kornev和Bellaiche，2008）。所有這些途徑在第五部分的描述中進一步詳細說明。
對於極化渦旋穩定化的先前理論預測打開了一個完全未開拓的研究領域，引發了一系列的活動。基於現象學的Landau模型（Xue，Gao和Liu，2009）預測了取決於其大小和表面終端的鐵電奈米島上的複雜極化模式，或者基於shell模型模擬在BaTiO3（Stachiotti，2004）和PbTiO3奈米顆粒（Stachiotti和Sepliarsky，2011）中。在Ginzburg-Landau形式主義與靜電場方程結合的分析計算和數值解中也得到了類似的結果（Lahoche，Luk'yanchuk和Pascoli，2008）。其他例子包括對鐵電奈米點極化渦旋的依賴性的研究，作為其尺寸、形狀、材料和溫度的函數（Prosandeev和Bellaiche，2007b），從渦旋相到在均勻電場下的微不足道極化狀態的拓撲相變（Naumov和Fu，2007），以及鐵電奈米點與極化介質在奈米復合材料中的相互作用（Prosandeev和Bellaiche，2006），伴隨著新的反鐵環狀相的出現，其中相鄰的渦旋具有相反的電環狀矩。Prosandeev和Bellaiche（2007b）還揭示了相關的非尋常應變特徵，例如四方鐵電奈米點或渦旋中心附近具有較大幅度的非均勻應變，這是由形成該渦旋的領域的彈性變形所致。還進行了分析性的發展，得出了由雙極子渦旋在點外部產生的電場的公式以及描述兩個渦旋之間相互作用的能量的公式。
一些實驗工作致力於在微米尺寸的PbZr0.2Ti0.8O3圓形電容器中檢測這些渦旋狀態的存在（Gruverman等，2008）（即瞬時渦旋）。觀察到的垂直於平面的分量的演變與基於Heisenberg磁鐵的微磁動力學方程的理論模擬相吻合，該模擬預測了極化的平面分量中出現渦旋。使用在表徵中使用的壓電響應力顯微鏡（PFM）技術對平面分量的極化進行明確檢測是困難的。然而，這些結構中存在渦旋狀態的存在得到了理論模型的支持，該模型考慮了一種具有弱、各向異性自由能並受到由圓形電極引起的軸對稱電場的影響（Baudry等，2011）。繼續發展對於限制幾何形狀（在外部場存在的頂部和底部電極的鐵電圓柱體）的熱力學理論證明了在圓柱體周長處的邊界條件誘導的非平凡數學解的存在，可以解釋為在第五部分討論的天空子之前的前兆（Scott等，2008；Baudry等，2014）。稍後，Rodriguez等（2009）使用與Gruverman等（2008）相同的PFM技術研究了PbZr0.4Ti0.6O3的尺寸更小的正方形奈米點陣列（直徑<100奈米）在壓縮應變下的情況。一方面，垂直PFM信號顯示了某些點呈現環狀或氣泡領域的情況，在這些情況下，點的外徑對應於負極化領域，內部部分則是正極化的。另一方面，橫向PFM揭示了其他奈米點中存在多個平面領域，表明存在渦旋極化狀態。幾年後，通過將組成改為Pb（Zr0.2Ti0.8）O3（位於相圖的鐵電一側），Ding等（2019）觀察到豐富的極化配置，這些配置是由外部應力和電壓以及內部緩衝電極引起的。不同的極化配置，包括渦旋和環狀極化，對應於不同的應力條件。
總的來說，這些研究表明，鐵電材料中存在多種形式的極化渦旋狀態，並且這些狀態的形成受到外部應力、電場和材料內部特徵的影響。這些渦旋狀態的觀察和理解有助於深入研究鐵電材料的性質和應用潛力。除了理論預測外，還有一些實驗努力致力於在微米級別的PbZr0.2Ti0.8O3圓形電容器中檢測極化渦旋的存在。在切換過程中觀察到了稱為瞬時渦旋的現象。通過高角度環形暗場（HAADF）探測器使用的掃描透射電子顯微術（STEM）測量，顯示每個象限內的極化趨向於呈現反渦旋，即直接指向或遠離象限的"核心"。Schilling等人（2009）進行的實驗觀察到了在BaTiO3單晶自由懸浮奈米點陣列中形成的對稱象限束帶的情況。STEM測量顯示，每個象限內的極化朝向或遠離象限的"核心"。McQuaid等人（2011）報告了在鉑電極之間沉積的BaTiO3單晶薄片中，對中的一個中小尺度渦旋進行了更清晰、更詳細的可視化。每個形成閉合狀態的象限都由90°帶狀領域組成。這些新型的介觀尺度領域（在微米尺度上）在去極化電場均勻施加後的幾小時內出現，這是由薄片內的去極化場引起的（鉑電極具有相對較低的導電性和極化的不良電屏蔽）。這些實驗強調了在鐵電材料中觀察靜態渦旋的困難：簡單的象限排列會產生巨大的不連續應變。在達到臨界尺寸之上，彈性能量將通過在每個象限內形成保持形狀的90°帶狀領域來釋放（Catalan等，2012）。Schilling等人（2011）結合暗場STEM、蒙特卡羅模擬和原始的現象學模型，研究了由BaTiO3製成的自由懸浮單晶薄片中觀察到的不尋常的象限束帶結構。改變這些薄片的形狀會導致象限域圖案的對稱性破缺，這可以歸因於二階相變，由板塊側壁的長寬比（而不是溫度，如常見的鐵電相變）驅動，其序參數是域圖案的偏心程度（而不是電極化程度，如典型的鐵電相變）。此外，還提出控制域圖案偏離中心的方向，以及相應的自發宏觀電極化和渦旋矩，可用於記憶存儲。
最後，需要指出的是，Dawber、Gruverman和Scott（2006）推測在鉛鍺酸鉛中，大域壁前方的奈米域噴射中存在螺旋環狀。此外，在BaTiO3和PbTiO3奈米顆粒嵌入介電介質中，當顆粒直徑大於臨界值時，預測了類似於渦旋的紋理（Mangeri，2017）。
C. 鐵電奈米線（1D）中的拓撲相位
基於原子級第一性原理的有效哈密頓量模擬快速擴展到涵蓋其他低維度的鐵電材料，例如一維無限奈米線。再次，應變和電邊界條件之間的相互作用對於穩定複雜的極化圖案至關重要，模擬中必須適當地包含這兩者（Ponomareva等，2005b）。使用這種技術，在開路和拉伸應變（z為奈米線的無窮方向）下，預測了Pb（Zr0.4Ti0.6）O3奈米線中具有鬆弛結構的陣列，其中局部極化在（x，z）平面上依次相反旋轉（Ponomareva、Naumov和Bellaiche，2005）。這種結構的形成是由於奈米線需要在x和z方向上具有非零的偶極分量，受拉伸應變的支配，同時最小化線內的去極化場。這種不尋常的圖案在（x，z）平面內的壓縮應變下轉化為沿著（y，z）平面上的上或下的奈米尺度領域，其中形成類似渦旋的域壁。
Pappas、Fthenakis和Ponomareva（2018）的計算研究強調並利用了機械和電邊界條件之間的相互作用。應用軸向應力可以使PbTiO3奈米線在類似開路的電邊界條件下從磁通閉合狀態轉變為沿著奈米線軸向具有極化的相位。這種相變伴隨著大的壓電和機械響應。
從第一性原理模擬中預測了更複雜的偶極紋理，在BaO-端面的BaTiO3奈米線中預測出了具有大的旋轉數的點缺陷（一個拓撲相關的概念，在第III節中討論）（Hong等，2010）。多渦旋狀態也在長鐵電圓柱體中報告過（Lahoche，Luk’yanchuk和Pascoli，2008；Di Rino，Sepliarsky和Stachiotti，2020）。奈米結構中極化場的拓撲景觀可能比之前假設的更加複雜。
D. 二維鐵電薄膜（2D）中的鐵電奈米域
除了所有先前的方法外，大多數實驗工作集中在生長和表徵不同基板上的超薄外延薄膜（2D）。X射線散射中Bragg峰周圍的衛星表示，在SrTiO3上外延生長的PbTiO3超薄膜中出現了奈米尺度的180°條紋域（Streiffer等，2002；Fong等，2004）。這些條紋域是交替極化的周期奈米尺度區域，使表面整體上具有荷中性並最小化系統的自由能。由於可用技術的解析度不足，當時仍缺乏對原子結構的直接觀察。然而，基於現象學理論（Bratkovsky和Levanyuk，2000，2001；De Guerville等，2005；Stephenson和Elder，2006；Bratkovsky和Levanyuk，2009；Luk'yanchuk，Lahoche和Sen´e，2009）、殼層模型（Tinte和Stachiotti，2001）、基於第一性原理的有效哈密頓量（Kornev，Fu和Bellaiche，2004；Wu等，2004，2007；Prosandeev和Bellaiche，2007a）和第一性原理（Aguado-Puente和Junquera，2008，2012；Shimada，Tomoda和Kitamura，2010a）的計算支持了這種狹窄有序條紋域的存在。正如在IV.A.1節中討論的那樣，這些域的寬度隨著薄膜厚度的平方根縮放，遵循Landau-Kittel定律。此外，所有先前的理論模擬都同意，為了使極化在空間的每一點上的發散最小化（根據馬克士威方程，缺少自由載流子，我們期望∇·P = 0），偶極紋理可以通過極化在表面和界面附近連續旋轉來表徵。（在缺乏自由載流子的情況下，我們預期根據馬克士威方程∇·P = 0。）模擬的預測能力引人注目，Kornev，Fu和Bellaiche（2004）在十多年前就預測了一個特徵，後來由Tang等人（2015）以磁通閉合象限的形式和Yadav等人（2016）以旋渦中極化的連續旋轉形式進行了實驗確認。
這些在鐵電材料中的磁通閉合域結構（也稱為閉合域）最早由Landau和Lifshitz（1935）預測，十年後由Kittel（1946，1949）在他對鐵磁域的研究中再次預測。它們可以被視為渦旋的管道：例如，在（x，z）平面上看到的渦旋沿著y軸傳播。
在2004年預測了使用有效哈密頓量，通過改變電邊界條件使系統向短路狀態移動導致奇特的偶極配置（Kornev，Fu和Bellaiche，2004）。它們的特徵是形成具有與宏觀極化相反方向對齊的局部偶極的奈米域。這些“泡泡”奈米域被定義為在薄膜厚度方向上延伸但在橫向上受限的域，並於2017年作為電泡泡（Zhang等，2017）在實驗中觀察到。它們可以被認為是極化天線的前體（Das等，2019）。在隨後的原子級模擬中也發現了這些泡泡及其場的演化，當直流電場應用於具有奈米條紋域的超薄膜（由Pb（Zr0.5Ti0.5）O3或BaTiO3製成）時，它們作為中間狀態起作用，然後這些2D系統轉變為單一域（Lai等，2006，2007b）。Lai等人（2007b）強調了ð001Þ PbðZr; TiÞO3和BaTiO3薄膜之間的差異，例如條紋交替的方向和BaTiO3薄膜中的更廣泛的應力域壁。
在許多情況下，表面不是平坦的，而是在其形態中呈現出台階（Shimada，Tomoda和Kitamura，2010b）。基於第一性原理的方法也被用於研究晶體結構步驟對超薄Pb（Zr0.4Ti0.6）O3薄膜奈米條紋域特性的影響（Prosandeev和Bellaiche，2007c）。預測會由於受到這些步驟的固定而出現新的條紋配置。
Sichuga和Bellaiche（2011）在不同電邊界條件下對超薄Pb（Zr0.52Ti0.48）O3薄膜中的極性和反鐵離子變形（氧八面體傾斜）運動以及合金化和應變自由度之間的相互作用進行了計算研究。那裡也發現了原始的特徵，包括展示出偶極奈米域和氧八面體傾斜的相位，Zr-rich區域中域壁的化學固定以及域壁附近反鐵離子變形的增強。在那裡還首次預測了柱狀偶極手性泡泡和偶極波的存在，並在幾年後得到了實驗確認（Zhang等，2017; Lu等，2018）。
E. 鐵電奈米複合材料中的新穎拓撲現象
受Prosandeev和Bellaiche（2006）關於嵌入在極化介質中的鐵電奈米點的工作的啟發，從2010年代開始，人們對嵌入在SrTiO3基質中的BaTiO3奈米線組成的奈米複合材料進行了計算研究，以尋找新的偶極紋理和現象。預測出三個主要的引人注目的效應。
第一個效應是手性的出現（Louis等，2012），這在第V.D.1節中進一步討論。基於第一性原理的有效哈密頓量顯示，這些奈米複合材料自發地同時具有一個渦旋和一個宏觀自發極化，其中極化與包含渦旋的平面的法線對齊。由於它們與反渦旋配對，所有渦旋在每個線中顯示相同的旋轉方向，因此類似於磁體中觀察到的相位鎖定相。因此，這些系統具有與極化平行的電鐵瞬時矩。陳，鄭和王（2015）也發現了類似的相位。隨後的分析推導和Landau型現象學發展證明，這種手性會導致自然光學活性：當線偏振光通過材料時，線偏振光的偏振面每單位長度旋轉一定角度。這種效應可以用旋光系數來量化（Prosandeev等，2013）。通過通過引入的電場在右旋和左旋形式之間誘導的轉變，旋光系數的旋轉方向可以切換。在一些應用的直流電場下，旋光系數在室溫下進一步進行了優化（Walter等，2016）。
第二個奈米複合材料的突破是預測極性電場誘導的天空磁旋子在幾奈米尺寸範圍內的穩定（Nahas等，2015）。在奈米複合材料中預測的第三個重大進展是幾何困惑與拓撲缺陷的有序排列之間的相互作用（Nahas，Prokhorenko和Bellaiche，2016）。研究發現，在這些結構內部的自組裝有序結構中，點狀拓撲缺陷會在最低溫度下波動。這種波動產生了幾何困惑的幾個指紋，這在各種材料中已經報導過（Anderson，1987; Laughlin，1988; Wen和Niu，1990; Harris，1999; Lee等，2002; Hemberger等，2005; Moessner和Ramirez，2006; Castelnovo，Moessner和Sondhi，2008），例如剩餘結構熵，基態退化和寬廣的介電響應。相關的複雜有序排列和空間組織，包括新穎的條紋和螺旋相、拓撲缺陷和曲率，也在組成梯度鐵電材料中報導過（Choudhury等，2011），其中Ba和Sr的組成沿著½001方向週期性變化（Damodaran等，2017b）。
F. 用亞埃尺度分辨率對結構進行表徵的實驗突破
與此同時，實驗突破得到了推動，得益於新技術的發展，例如相位對比高分辨率透射電子顯微術（HRTEM）或糾正異常的環形暗場Z-對比HAADF STEM，可以直接觀察原子結構（因此可以獲得亞埃尺度分辨率下的原子尺度定量極化圖）。這些技術首次應用於觀察涉及連續極化旋轉區域的電偶極配置，以屏蔽消極場。這就是在生長在TbScO3上的BiFeO3薄膜的109°界面上提供極化閉合的三角形狀渦旋奈米域的情況（Nelson等，2011）。對於其他的結構（例如71°的結構），界面是金屬的，形成了具有更小極化旋轉的標準條紋結構。同年，Jia等人（2011）證明了在SrTiO3上的PbðZr0.2Ti0.8ÞO3外延薄膜的180°界面處存在著封閉通量結構。在界面區域附近，局部電偶極連續旋轉，形成一個三角形狀的明確區域（寬度最大約為四個晶格常數），連接兩個180°結構。在上界面處，沒有觀察到封閉通量結構。在受拉應變的GdScO3基板上生長的PbTiO3=SrTiO3多層膜中首次檢測到週期性封閉通量象限（Tang等，2015）。在出現封閉通量的PbTiO3層的厚度在15-36 nm的範圍內。在PbTiO3的中心，HAADF-STEM圖像中觀察到180°結構，極化在界面附近連續旋轉，形成90°結構。由於這些封閉通量的配置，會產生顯著的非均勻錯配應變（包括與彎曲電效應有關的巨大應變梯度）。在PbTiO3超薄膜與Co和La0.7Sr0.3MnO3電極夾層結構的隧道接觸中也觀察到了封閉通量結構（Peters等，2016），或與富鈦PbðZr; TiÞO3單晶中的手性尼爾狀界面相關聯（Wei等，2016）。
第一個實驗實現局部極化連續旋轉形成極化旋渦狀態的複雜極化模式的關鍵步驟是由Yadav等人（2016）在生長在DyScO3基板上的PbTiO3=SrTiO3超晶格中進行的。當PbTiO3和SrTiO3層的厚度減小到十個晶格常數（約4 nm）時，雙極配置從封閉通量結構演變為旋渦結構，詳細討論請參考第V.A節。
所有這些努力都需要在精確的材料合成（在這種情況下，氧化物超晶格或奈米結構）中實現熱力學邊界條件，並直接利用最先進的材料表徵和模擬工具進行研究。在這個背景下，本文重點介紹過去十年（特別是過去五年）在建立模型鐵電異質結構系統和其中出現的拓撲結構方面取得的進展和突破。我們關注極化旋渦、極化天空磁旋子以及最近觀察到的相關功能。一個包含一些重要里程碑的時間線在補充材料的圖4中顯示（472），由於尺寸限制，其中的示例數量不可避免地減少。關於非常規電偶極紋理的綜述，從2003年到2015年左右的研究活動已經由Ponomareva等人（2005a），Kornev，Fu和Bellaiche（2006），Kornev等人（2008），Prosandeev，Ponomareva，Naumov等人（2008），Prosandeev和Bellaiche（2009）以及Prosandeev等人（2016）提供了。
三、拓撲學基礎
拓撲學是數學的一個分支，關注在連續變形下保持不變的幾何物體的性質。在這個“連續變形”的範疇中，可以進行一系列操作，包括對結構的拉伸、扭曲、揉皺或彎曲。然而，涉及到對結構的不同部分進行剪切和粘貼的操作在系統的拓撲特徵的描述中是被禁止的。對於這些連續變形下保持不變的物理特性的追求正在推動該領域的興趣，滲透到凝聚態物理學的許多不同領域，從電子結構理論到位錯、超導和超流。Ramirez和Skinner（2020）稱之為“拓撲時代的開始”。
本節的目標是為該領域的非專家提供與拓撲相關概念的基本定義（如拓撲不變量、同倫類、拓撲相变、缺陷和孤子等），尤其是關於本文主題的極化系統的定義。對於所有這些概念的嚴格定義超出了本文的範圍；更多信息請參閱Mermin（1979）、Toulouse（1980）、Dubrovin、Fomenko和Novikov（1985）、Chaikin和Lubensky（2000）、Nakahara（2003a）和Manton和Sutcliffe（2004）。
在物理學中，「同伦不變量」或「類」的術語常被替換為「拓撲不變量」或「類」，儘管後者的定義對於允許的物體間轉換施加了更嚴格的限制（Dubrovin、Fomenko和Novikov，1985年；Monastyrsky，1999年）。
圖1。(a) 繞著一個無限長圓柱的彈性帶。綠色（下方）、藍色（中間）和橙色（上方）的帶子分別繞圓柱一次、兩次和三次。 (b) 繞圓柱兩次的同伦等价帶子放置的示例。這些配置可以連續變形成彼此，屬於同一同倫類。 (c) 綠色（下方）的帶子不繞圓柱，屬於可以收縮為一點的平凡迴路類。順時針和逆時針繞圓柱的帶子[藍色（深灰色）箭頭]無法連續匹配。它們各自的類別標有相反符號的卷绕數。 (d) 在球面上的任何迴路都可以連續收縮為一點。用藍色（深灰色）線顯示了收縮迴路的順序。 (e) 圓環面上的迴路通過極向（橙色實線箭頭）和環向（藍色虛線箭頭）方向的卷繞數組合來進行特徵化。
A. 同倫類和群
如果兩個物體可以從一個連續變形到另一個，則它們被稱為同倫等價或屬於同一同倫類（Mermin, 1979; Dubrovin, Fomenko, and Novikov, 1985; Pontryagin, 1986; Mineev, 1998; Monastyrsky, 1999; Nakahara, 2003a; Manton and Sutcliffe, 2004; Bick, Bick, and Frank, 2005）。同倫類匯集了在連續變形下具有共同特征的物體。這些不變的特性被稱為拓撲不變量。
拓撲不變量的原型例子是幾何形狀表面上的手柄數量，即屬於該形狀的虧格g（Dubrovin, Fomenko, and Novikov, 1985），與形狀的歐拉特征χ = 2(1 - g)有關（Ramirez and Skinner, 2020）。例如，一個甜甜圈和一個咖啡杯屬於同一同倫類，因為兩者的手柄數量都等於1。
另一個例子與在給定表面上列舉閉環可能位置的問題有關（Monastyrsky, 1999）。例如，想像一個彈性帶（由橡膠製成的閉環）纏繞在一個無限長圓柱上。帶子可以纏繞圓柱一次或多次，如圖1(a)所示。通過連續變形帶子，可以獲得各種同倫等價的帶子位置。它可以沿著圓柱軸向移動，旋轉，拉伸和變形[圖1(b)]，但不允許剪切和重新粘合。任何帶子的位置都可以通過變形一個簡單的未扭曲帶子（圖1(a)中的綠色環）來匹配嗎？一旦我們注意到圓柱的無限延伸阻止了解放帶子或在不剪切的情況下再纏繞它一次，答案就變得明顯起來。換句話說，帶子纏繞圓柱的次數在連續變換下保持不變。在數學上（Dubrovin，Fomenko和Novikov，1985; Monastyrsky，1999）和拓撲缺陷的物理學中（Mermin，1979; Chaikin和Lubensky，2000），這種拓撲不變量稱為繞數w。這里的w是一個唯一的不變量，因此它能夠明確確定具體帶子位置的同倫類別：所有具有相同繞數的構型可以從一個構型連續變形到另一個構型，因此屬於同一同倫類。
請注意，我們還可以定義繞數w = 0的帶子構型，以及負w值。繞數w = 0的構型可以描述為位於圓柱表面上而不環繞它的帶子[圖1(c)中的綠色帶子]。繞數w的符號可以由帶子的旋轉方向（順時針或逆時針）來定義[圖1(c)]。
如果我們用具有不同歐拉特徵χ（如球體或環面）的不同形狀替換圓柱，我們將看到截然不同的圖像。例如，球體表面上的任何閉環[圖1(d)]都可以收縮成一個點（Dubrovin，Fomenko和Novikov，1985; Monastyrsky，1999）。因此，所有繞在球體上的帶子可以連續匹配，並屬於同一個唯一的同倫類。
渦旋和刺猬是拓撲缺陷的典型例子。第二種類型的拓撲模式是拓撲孤子或拓撲紋理。孤子的一個廣為人知的例子是天空子，它也是海森堡模型（X = S^2）中的典型情況，但這次是在二維空間中。圖2(g)展示了一種Néel風格的拓撲紋理。天空子的情況稍微覆雜一些。與拓撲缺陷不同，孤子在核心區域不具有有序參數的奇點（Manton and Sutcliffe, 2004）。
拓撲缺陷和孤子之間的另一個重要區別在於遠場區域中有序參數的行為。對於獨立的缺陷，即使在距其核心無限遠的地方，有序參數分布仍然是不均勻的，而獨立的孤子總是在其邊緣趨於均勻的有序。缺陷和孤子是通過它們的拓撲荷（Chaikin and Lubensky, 2000）來表征的。此外，缺陷可以通過其核心的維度d來描述。後者確定了奇點集的維度。對於點缺陷，核心的維度為零（d = 0）。這些模式的有序參數分布在單個點處出現奇點或消失（例如，二維中的渦旋）。域墻，也被稱為缺陷線，是三維中的平面缺陷（d = 2），二維中的線缺陷（d = 1），以及一維中的點缺陷（d = 0）（圖3）。在三維中，域墻交點（兩個域墻的交叉點）是具有d = 1的另一個線缺陷的例子。
拓撲荷是通過將有序參數圖案與同倫群πn中的一個元素關聯起來來計算的，其中n = D - d - 1（對於缺陷）或n = D（對於孤子）。這個一般的過程相當覆雜，可以在其他地方找到詳細解釋（Mermin, 1979; Manton and Sutcliffe, 2004）。拓撲荷具有幾個重要的屬性值得一提。其中一個是拓撲荷是可加性量。給定的有序圖案可以通過個別缺陷或孤子的荷之和來全局描述。這種可加性源於πn中的群操作。對於缺陷，它還可以通過Poincaré-Hopf定理（Dubrovin, Fomenko, and Novikov, 1985）與缺陷核心的奇點性質相關聯。該定理限制了系統中所有拓撲荷之和Σ等於嵌入空間的歐拉特征數。例如，D = 2或3的無限體晶體由χ = 0描述，任何缺陷必定與其負荷對應的缺陷成對出現。在第III.B.1節中，我們將重點討論最相關的缺陷和孤子情況，並提供相應拓撲荷的幾何解釋。
圖2。(a) Ising模型，(b) XY模型和(c) Heisenberg模型的序參數空間X。箭頭表示自旋向量的取向示例。所有可能的自旋尖端位置形成了序參數空間。在三維中與Ising模型、XY模型和Heisenberg模型相關的拓撲缺陷分別為(d) 域壁、(e) 渦旋線和(f) 刺猬或布洛赫點。Heisenberg模型還允許在D = 1、2和3維中存在各種拓撲孤子。 (g) 紐爾天線磁異常，這是這種孤子的一個例子。可以將其視為從南極方向進行的(f)的立體投影。.
圖3。在三維空間(D = 3)中，(a) 域壁是一個平面缺陷，在二維空間(D = 2)中，(b) 域壁是一個線缺陷，在一維空間(D = 1)中，(c) 域壁是一個點缺陷。域壁的核心維度d始終等於D - 1。
1域壁和域壁頂點
域壁在鐵電材料中很常見。根據有序參數在域壁上的變化方式，可以區分Ising域壁、Bloch域壁或N´eel域壁結構[圖4(a)]。從拓撲角度來看，這些狀態是缺陷和孤子家族中的一個特殊情況：它們的拓撲特性與連續空間的分割（如二維平面的鋪砌）有關，而不是有序參數場的連續性。域壁通過零階同伦集合π0進行分類，它缺乏群結構。因此，在一般情況下，無法將拓撲荷指定給域壁。作為空間的子區域，域壁本身可以容納拓撲缺陷和孤子。常見的例子包括Bloch和Ising線以及Bloch點（Malozemoff和Slonczewski，1979）和域壁天空子磁旋（Cheng等，2019）。域壁的交叉點被稱為頂點線（Catalan等，2012）[圖4(b)]。這些頂點線在拓撲上可以等價於渦旋線和反渦旋線（第III.B.2節）。然而，與後者不同，類似渦旋的頂點可以很容易地變形。例如，四重頂點可以分裂成具有附加域壁的Kittel閉合區域，該域壁在其端點處具有半渦旋結構[圖4(c)]。環繞圓柱域的180° N´eel或Bloch域壁在拓撲上等價於一個天空子（Malozemoff和Slonczewski，1979; Bogatyrev和Metlov，2018）（第III.B.3節）。在鐵電奈米複合材料中，報告了與天空子拓撲等價的類似meron的域壁頂點集合（Nahas等，2015）。
圖4。 (a) 伊辛（Ising）、布洛赫（Bloch）和尼爾（N'eel）的域壁結構。 (b) 四重和三重域壁頂點的示意圖。 (c) 一個類似渦旋的域壁頂點（左邊的藍色（深灰色）圓圈）分裂成兩個三重頂點（右邊的黃色（淺灰色）圓圈）。虛線橙色線表示的域壁在其端點處帶有w = +1/2的半渦旋。
2渦旋和反渦旋
渦旋是具有二維序參數和基礎連續旋轉對稱性（偶角度下電偶極或自旋的全局旋轉不改變能量）的材料中普遍存在的拓撲缺陷（Kosterlitz and Thouless, 1973; Toulouse and Kl´eman, 1976; Mermin, 1979）。這類系統的序參數空間等同於一個圓盤S1或一個無限長圓柱體[圖1(a)]。在第III.A節中引入的繞數起到了拓撲荷的作用。
圖5(a)展示了一個中心發散型渦旋的例子。它的中心點具有奇點，構成了缺陷核心。為了計算該狀態的拓撲荷，我們首先需要沿著一個維度為n = 1的路徑追蹤圍繞缺陷核心的序參數值（根據本節開始描述的規則，n = D - d - 1 = 2 - 0 - 1 = 1）。圖5(a)中以黑色圓圈表示了這樣一條路徑的示例。沿著指示的路徑，順時針從點1到點5再返回點1，有序參數將連續旋轉，在觀察者參考系中圍繞原點做一圈[圖5(b)]。請注意，在該路徑上的有序參數值形成了序參數空間中的一個閉環，類似於第III.A節中的橡皮筋。因此，有序參數圖案的拓撲荷可以分配給這樣一個閉環的同倫類，並由其繞數給出；請參閱第III.A節。在磁性材料的物理學中，渦旋的拓撲荷通常被稱為渦度（Chaikin and Lubensky, 2000）。這個荷具有一個簡單的幾何解釋：它等於沿著給定閉合路徑的有序參數進行的完整360°旋轉的次數。對於所考慮的圖案，沿著路徑的一個順時針旋轉產生一個有序旋轉的360°順時針旋轉。因此，圖5(a)所示配置的繞數w和拓撲荷等於1。這里，w可以形式上定義為閉合路徑L上的線積分，
w = (1/2π)∫_L dθdl·dl；
其中，θ表示序參數相對於x軸的傾斜角度。一般而言，通過π1中的元素分類的點拓撲缺陷被稱為渦旋或反渦旋，取決於w的符號。在三維空間（D = 3）中，π1的元素定義了渦旋和反渦旋線的拓撲荷（Chaikin and Lubensky, 2000）[圖2(e)]。
對於X = S1，計算得到的繞數w是拓撲不變量，在序參數場的連續變換下不會改變。一個平凡的例子是所有自旋的全局旋轉。例如，圖5(a)中所有矢量按順時針方向連續旋轉90°，可以得到其他典型的渦旋配置[圖5(c)–5(e)]。盡管在幾何和物理上存在明顯的差異，所有這些狀態在同倫等價。圖5(f)展示了一個拓撲荷為w = -1的反渦旋圖案的例子。
圖5。 (a) 二維中心發散渦旋。箭頭表示二維極化向量P，並根據其x軸的分量著色。黑色圓圈是圍繞缺陷核心的迴路。沿著這個迴路從點1逆時針移動到點5會產生一個逆時針的極化旋轉，如圖(b)所示。因此，極化向量的尖端繪製一個環繞P = 0的迴圈。配置(a)的卷曲數w等於1，因為圍繞渦旋核心轉一圈會產生360°的極化旋轉。 (c)-(e) 具有w = 1的拓撲等價渦旋配置。 (f) w = -1的反渦旋配置。
3. Skyrmions, antiskyrmions, and merons
與渦旋和反渦旋不同，Skyrmions和antiskyrmions是拓撲孤子。它們是具有球形序參數空間（X = S2）的二維系統中常見的拓撲紋理。
分別在圖6(a)和6(b)中展示了兩個典型的拓撲紋理，稱為N´eel skyrmion和Bloch skyrmion（Rößler, Bogdanov, and Pfleiderer, 2006）。Skyrmions的拓撲與S2 → S2的映射有關（Manton and Sutcliffe, 2004; Nagaosa and Tokura, 2013）。因此，skyrmionic紋理與第二同倫群π2的非平凡元素相關聯。可以通過將缺陷所覆蓋的區域內的序參數值映射到序參數空間中來獲得這些模式的拓撲荷（Manton and Sutcliffe, 2004; Nagaosa and Tokura, 2013）。對於N´eel skyrmion，這樣的映射在圖6(c)–6(e)中進行了說明。取在逐漸增大的直徑的區域內的所有序參數值[圖6(c)–6(e)底部圖像]，在序參數空間中創建一個不斷擴展的二維曲面[圖6(c)–6(e)頂部圖像]。由於拓撲孤子要求在遠離缺陷核心的地方具有恒定的序參數分布，所創建的曲面最終會閉合並完全覆蓋整個序參數空間，重覆覆蓋了整數次。這個整數將標記同倫類，或者等價地，對應於skyrmion的拓撲荷。Skyrmion的拓撲荷被稱為skyrmion數N（Manton and Sutcliffe, 2004; Nagaosa and Tokura, 2013）。可以計算為：
N = 1/4π n ·∫∫∂n/∂x×∂n/∂ydxdy;
其中n(r)是歸一化的序參數矢量場，被積函數稱為龐特里亞金荷密度。在三維系統中，skyrmions可以形成所謂的skyrmion管，類似於渦旋線。
整數荷的skyrmions可以分解為攜帶分數skyrmion數（通常為1/2）的子粒子。這些粒子被稱為merons。它們不滿足在其邊緣具有均勻序參數的要求，也不是拓撲孤子。然而，在鐵電系統中，merons通常具有π1缺陷（如渦旋、反渦旋和螺旋位錯）的特征。
圖6。 (a) N´eel和(b) Bloch skyrmion。箭頭表示自旋，並根據其垂直於平面的分量著色。通過將包含skyrmion核心的圓盤內的自旋值映射到有序參數空間，可以計算skyrmion的拓撲荷（skyrmion數）。 (c)-(e) N´eel skyrmion結構的拓撲荷計算示意圖。增加映射區域的直徑[（c）-（e）中的底部圖像]最終創建一個完全覆蓋有序參數空間S2一次的閉合曲面[（c）-（e）中的頂部圖像]。
4氣泡、氣泡skyrmions和Hopfions
與skyrmions相關的另一種結構是極化氣泡（圖7(a)）（Lai等，2006；Zhang等，2017）和極化氣泡skyrmions（圖7(b)）（Das等，2019）。這些孤立子具有一個上（或下）極化的核心，周圍是一個環狀渦旋模式。在這兩種情況下，孤立子嵌入到一個具有相反下（或上）極化的均勻矩陣域中。這樣的三維結構在頂部和底部平面上產生了類似N´eel的序參量旋轉。氣泡skyrmions的一個獨特特徵是與平面環形渦旋相關的額外Bloch分量[圖7(b)中的橙色箭頭]。極化氣泡和氣泡skyrmions通常形成於超薄四方鐵電薄膜或鐵電-介電超晶格，並跨越沿極化軸的鐵電層的總厚度。從拓撲角度看，skyrmion管和兩種類型的氣泡的平面橫截面具有整數skyrmion數N。在它們的底部和頂部平面上，極化氣泡和氣泡skyrmions具有兩個N´eel skyrmions [參見圖28(g)和圖28(h)]，它們可以在Bloch點處終止（Han等，2022）。在後一種情況下，這些skyrmions類似於所謂的自旋和極化浮標。這些N´eel旋轉向中間平面延伸了六個晶胞層，取決於溶質的直徑，並確保了整數skyrmion數N =+- 1。
在氣泡skyrmions的情況下，N´eel分量逐漸轉變為Bloch旋轉，並最終在氣泡skyrmion的中間層產生一個180°的環狀Bloch壁[圖7(b)]。具有圓形Bloch壁的相應圓柱狀域結構（在磁學界被稱為磁氣泡）在拓撲上等價於一個skyrmion。因此，氣泡skyrmions在所有橫截面上都具有整數skyrmion數。
對於球狀極性氣泡（Nahas、Prokhorenko等，2020）來說，後者在該情況下也是成立的。當氣泡的平面直徑與其沿著垂直平面方向的厚度相等時，氣泡的所有平面截面都具有一個整數的斯格米翁數N = 1。同時，將氣泡沿著其極向核心方向延伸會產生具有半圓狀氣泡頂部和底部終點的柱狀伊辛區域。
圖7。 (a) 極性氣泡的示意結構，(b) 極性氣泡skyrmion的示意結構，(c) 極性hopfion的示意結構。線條表示極化通量線，箭頭顯示局部雙極子的方向。在(b)中，極性氣泡skyrmion的平面內極性旋渦由一個橙色（淺灰色）的水平卷曲箭頭表示。 (d) 在一個環面上連接兩個極化通量線（用實線藍色和虛線紅色表示）。 (c) 參考自Luk’yanchuk et al.，2020。
需要注意的是，儘管氣泡具有整數斯格米翁數，但在三維空間中，向量場的這個二維拓撲指標的守恆性並不保證。此外，由於相應的極化圖案定義在有限厚度的R3空間內，邊界處的極化約束對拓撲有著關鍵影響。這些觀點以及對於氣泡狀圖案的數學嚴謹拓撲特徵的討論，構成了一個重要的（但仍然未解決的）問題。最近的一篇展望性文章（Govinden、Prokhorenko等，2023）對這個主題提出了額外的論點。在氣泡狀孤子的整個體積中添加一個非均勻的Bloch分量可以產生一個覆雜的hopfion結構（Arnold和Khesin，1998年；Luk'yanchuk等人，2020年）[圖7(c)]。Luk'yanchuk等人（2020年）對這種構造進行了詳細描述。需要注意的是，與氣泡和氣泡skyrmions不同，hopfions的外邊界以及頂部和底部極點處具有Bloch旋轉。此外，與氣泡和氣泡skyrmions不同，hopfion結構中的極化線是封閉且無散度的。額外的Bloch旋轉使極化通量線圍繞hopfion的核心旋轉，並像鏈條的環節一樣連接它們[圖7(d)]。這種鏈接可以通過Hopf不變量NH來描述。NH可以通過以下方式計算（Arnold和Khesin，1998年；Luk'yanchuk等人，2020年）：
N_H = ∫ P · curl⁻¹P dV，(3)
其中P是極化，規範場A = curl⁻¹P定義為P = ∇ × A。值得注意的是，NH可以取非整數值（Arnold和Khesin，1998年），但在保持體積不變的變形下是不變的。hopfion的整數拓撲荷被稱為Hopf不變量，可以使用Whitehead積分公式（Whitehead，1947年）計算：
N_H = ∫ F · curl⁻¹F dV，(4)
其中Fi = εijkn · ∂n/∂xj × ∂n/∂xk，n為歸一化極化。方程（4）是skyrmion數[方程（2）]的三維類比。與skyrmions一樣，hopfions可以有多種幾何實現，它們之間通過平滑變形相關聯。關於氣泡、氣泡skyrmions和hopfion結構之間關系的更詳細討論可以在Govinden, Prokhorenko等人（2023年）的一篇文章中找到。
偏極拓撲狀態的物理特性
請注意[參見圖5(c)–5(e)和6(a)–6(b)]，拓撲等價的圖案通常可以具有不同的幾何形狀，因此具有顯著不同的物理特性。可以使用在本節中定義的非拓撲特性來區分這些狀態。這些特性包括極性和螺旋度，或宏觀有序參數，例如平均極化、托盤狀和高度托盤狀矩。
二維和三維渦旋結構可以使用托盤狀矩（Prosandeev和Bellaiche，2009）和高度托盤狀矩（Dubovik和Tugushev，1990; Prosandeev和Bellaiche，2008b, 2009）進行表徵。托盤狀矩通常表示為T或G，等於
G= ⟨Ri × (pi − P) ⟩_i
其中p_i是位於從所選原點到單元格i的位置Ri處的單元格的局部電偶極，h ii表示對晶體體積的平均值。引入極化向量P是為了使G與坐標系統的所選原點無關（Prosandeev和Bellaiche，2009）。同時，對於周期性系統，發現G的值取決於單元格的選擇。G的多值性被認為類似於電極化的多值性，因為只有G的差異在物理上有意義，並且不依賴於單元格的平移。
詞語“托盤狀矩”可能來自於圓環面的托盤狀和极截線的定義。例如，沿圓環面的极截線纏繞[圖7(a)]的渦旋不會對G做出貢獻，與沿圓環面的螺旋纏繞[圖7(b)中的橙色箭頭]相反。非零的托盤狀矩G也是具有渦旋線特徵的結構的特徵[圖2(c)]。
在零維鐵電奈米結構中出現非尋常的電偶極配置，引發了超扭曲矩h（Prosandeev和Bellaiche，2008b，2009）的引入。它可以用於物理上表徵多渦旋模式，例如所謂的鐵電歷石狀態中的雙渦旋模式（Prosandeev和Bellaiche，2008a）。
具有非零G和h的系統可以與非均勻的電場和磁場強烈耦合（Prosandeev和Bellaiche，2008b，2009）。在電渦旋系統中，位移電流與動態磁電張量和光學活性相關聯（Prosandeev等，2013）。
斯格米翁的其他幾何特徵包括極性和螺旋度。極性p基於斯格米翁中心處的有序參數方向進行分配（Nagaosa和Tokura，2013）。對於與z軸平行和反平行的排列，極性分別等於+1和-1。對於布洛赫或N´eel斯格米翁，極性與其拓撲荷（斯格米翁數）相一致。然而，對於反斯格米翁，極性和荷總是具有相反的符號。
斯格米翁的螺旋度角γ通常被定義為基本渦旋的相位角（Nagaosa和Tokura，2013）。渦旋相位等於通過極點的x軸與極角ϕ為零的極化之間的角度。例如，如果平面斯格米翁投影看起來像圖5（a）、5（c）、5（d）或5（e），則螺旋度分別等於0、π、π/2或-π/2。同樣，螺旋度也可以定義為繞z軸的全局旋轉角度，將給定的斯格米翁與N´eel斯格米翁相關聯。根據後一個定義，N´eel斯格米翁的螺旋度始終為零。極性乘以螺旋度角的符號定義了結構的手性（或旋手性）（van der Laan、Zhang和Hesjedal，2021）。需要注意的是，螺旋度的概念也可以從流體動力學中借用（Moffatt和Ricca，1992），螺旋度的符號與系統的手性和旋手性直接相關。這在第V.D.1節中進一步討論。作為本節中發展的概念的總結，我們在圖8中展示了本文中討論的最重要的拓撲缺陷和紋理。
在對稱破缺過程中，「拓撲保護」通常指的是在外部擾動下，狀態對於改變其同倫類的抵抗能力。例如，拓撲保護可以意味著微弱的偏壓、輕微的溫度變化或任何其他外部刺激既不會破壞也不會創建拓撲缺陷或孤子（如漩渦、斯克米恩等），而是將其移動、變形或分裂成部分帶電的碎片。
拓撲保護是拓撲不變性的直接結果，只要驅動力引起的演變不破壞序參數分佈的連續性，它就會持續存在。因此，拓撲保護通常與特定系統內在的能量壁相關。導致系統超過這種壁的擾動會引起不連續性，被認為破壞了拓撲保護。
為了說明拓撲保護和相關能量壁的起源，我們考慮一個二維漩渦的例子，如圖9所示。在固定大小的二維序參數n的情況下，漩渦屬於w = 1的同倫類，而有序狀態屬於w = 0的平凡同倫類。由於這兩種狀態屬於不同的同倫類，它們都具有拓撲保護。漩渦既不能「平滑地」被破壞也不能被創建。換句話說，要破壞漩渦，擾動必須破壞其連續性。
這種「不連續」轉換的一個例子如圖9(a)所示。從初始的漩渦狀態開始（圖9(a)左上方面板），每個點的序參數都以順時針方向連續旋轉，以便在轉換結束時與x軸對齊（圖9(a)右上方面板）。由於我們假設了固定的旋轉方向，不同方向的向量最終將以不同的角度旋轉。例如，略微向正y方向傾斜的向量（小ny > 0）將旋轉一個小角度，而略微向負y方向傾斜的同樣方向的向量（小ny < 0）將完成近乎360°的旋轉。這種旋轉速度不匹配必然會在序參數分佈中產生不連續性，即從漩渦中心沿著y軸無限延伸的頭對頭（head-to-head）180°磁域壁（圖9(a)中上方面板）。雖然考慮的轉換並不唯一，但可以證明，在w = 1和w = 0狀態之間的任何轉換都會產生一個延伸的頭對頭或尾對尾（tail-to-tail）的180°磁域壁。
在序參數空間中，破壞漩渦等同於將一個封閉迴圈收縮到一個點。然而，在單位圓上進行這樣的轉換是不可能的，除非迴圈已被切割。在我們的情況下，切割發生在圖9(a)底部左側面板的模式演化的第一個瞬間。隨後對所創建的圓弧的收縮導致序參數方向僅覆蓋完整180°角度的一半（圖9(a)底部中間面板）。不論轉換的具體細節如何，這種中間狀態必然包含n向量採用頭對頭或尾對尾方向的點。
值得考慮一個反例，即一個非受保護狀態。例如，我們考慮相同的渦旋配置，但這次具有球狀有序參數。同倫理論預測，二維渦旋和完全有序狀態現在將屬於同一個同倫類。因此，增加1個自由度應該允許我們平滑地消除一個渦旋。的確，附加的自由度允許n矢量圍繞平面內定向的軸旋轉並進入第三維度[圖9(b)的頂部面板]。在有序參數空間中，這種變換的表示看起來像是在球面上的閉環的收縮[圖9(b)的底部面板]。
S1和S2有序參數空間傳統上與連續對稱性相關聯。例如，在XY模型中，對n矢量進行任意2D旋轉不改變總能量，從而得到X = S1。然而，Prokhorenko、Nahas和Bellaiche（2017）發現，這種X拓撲結構甚至可以從離散對稱性群中出現，只要通過熱漲落可以實現偶極矩的局部連續旋轉。這種保護機制在BaTiO3中被預測出現。由於強烈的立方各向異性，BaTiO3中的局部偶極矩總是更傾向於沿h111ipc方向定向。然而，在四方和正交晶系相中，熱漲落足夠強大，可以在不同的h111ipc取向之間實現連續旋轉。
在有限系統中，拓撲缺陷和孤立子也可以“推向邊緣”，即在邊界處消除。與體內崩潰相關的邊界消除的拓撲保護屏障通常要小得多。例如，磁性斯格米翁的報告值為10與100 meV（Cortés-Ortuño等，2017）。對於極性氣泡，體內崩潰與內部能量約為200 meV相關（Prokhorenko等，2023年）。
圖8。二維系統（D=2，上方行）和三維系統（D=3，下方行）中相應的拓撲結構表。左側的X=S1欄表示圓等價的序參數空間，右側的X=S2欄表示球等價的序參數空間。位於粉色和藍色方框下方的結構屬於拓撲缺陷和孤立子家族。最常見的meron結構顯示在灰色方框下方。對於渦旋、skyrmion、氣泡、氣泡skyrmion和hopfion，結構示意圖補充了物理性質（手性h，以及極化場的散度和旋度）。Meron和skyrmion管（反skyrmion管；未顯示）與相應的skyrmion（反skyrmion）結構具有相同的物理性質，而渦線（反渦線；未顯示）則繼承自二維渦旋（反渦旋）的性質。對於反渦旋，旋度的局部值不為零，但在進行曲面積分時消失（圍繞核心的圓形輪廓上的環流為零）。⋆ 如第III.B.4節所討論的，極性氣泡可以通過使用以N=0為特徵的柱狀Ising域壁將其分為兩個具有N=1層的半氣泡結構。 Hopfion示意圖引自Luk’yanchuk et al.，2020。
D. 拓撲相變
拓撲相變超越了自發破缺對稱的概念和Landau的相變分類。這些相變在1972年由Berezinskii和Kosterlitz-Thouless引入，並於2016年獲得諾貝爾獎。正如後面所討論的，Berezinskii-Kosterlitz-Thouless（BKT）相變通常是二維系統中短程相互作用和連續對稱性的特徵。雖然BKT相變是通過改變二維系統中缺陷行為，即解綁一對缺陷-反缺陷對來進行的，更一般的拓撲相變則是在不僅改變有序性或行為，而且改變缺陷本身性質時報告的。正如前面討論的，只要注入系統的能量超越拓撲能量障壁，拓撲保護就會被解除。結果，序參數場結構可以被深刻改變，並且可能產生不同拓撲相之間的相變。例如，在鐵電材料中，通過改變超薄Pb（Zr，Ti）O3異質結構中的屏蔽作用，可以使系統從呈現迷宮相轉變為泡泡-天線球相（Zhang等，2017），而通過改變外部電場、機械邊界條件或溫度可以導致天線球的破壞（Pereira Gonçalves等，2019；Nahas、Prokhorenko等，2020；Das等，2021；Zhu等，2022）。此外，拓撲缺陷可以容易地組合或分解，形成複合或基本缺陷，並且在某些情況下也可以相互作用和湮滅。這些相變的一些例子在第V.C和V.E.2節中討論。
為了表徵這些拓撲相變，普遍性原理是一個寶貴的工具。該原理關注序參數（或其任何矩）隨外部擾動（溫度、電場等）在相變發生的臨界點附近的行為。臨界點附近的奇異行為由一組臨界指數來描述，
基於普遍性原理的等價性將看似不同但共享基本對稱性的系統連接起來，這些系統無法直接映射到彼此。例如，在研究伊辛鐵磁體中的相變的臨界性質時，人們了解到了液-氣相變的性質，類似地，具有覆雜序參量的超導體的臨界行為屬於相同的普適類（具有相同的臨界指數集合），與二元（或XY）鐵磁體相同。許多性質對於物理模型的微觀細節和各種可能的表示方法都是不受影響的，因為在臨界點附近，序參量的相關僅依賴於一般特征，如（i）空間維度D、（ii）序參量維度n、（iii）對稱性和（iv）相互作用的範圍。這四個基本特征覆雜地決定了長程集體激發的強度，進而決定了有序過程。例如，低維系統中的漲落被幾何地增強，在低於一個下臨界維數d−
c時，漲落消除了長程有序。相反，在一個上臨界維數dþ
c上，平均場理論似乎是內部一致的。對於d−c <D<dþc，雖然長程有序沒有被抑制，但在臨界區域（即臨界點附近）的臨界行為偏離了平均場理論。對於具有短程相互作用和連續對稱性的系統，在維數低於dþc = 4時，朗道理論在相變附近失去了有效性，而在d−c = 2或更低時，長程有序被抑制。
從這個意義上說，D = 2是一個特殊的邊緣情況，然而它可以展示具有拓撲性質的重要相變。最近在超薄BaTiO3薄膜中發現的中間BKT相的溫度範圍隨著薄膜厚度的增加而減小。
Mermin-Wagner-Hohenberg定理
（Mermin和Wagner，1966年；Hohenberg，1967年；Mermin，1967年）是一個更為一般的結果，也被稱為Coleman-Weinberg場論定理（Coleman和Weinberg，1973年）。這個定理由Mermin和Wagner（1966年）以及Hohenberg（1967年）獨立證明。Mermin和Wagner主要研究一維和二維的鐵磁性和反鐵磁性，而Hohenberg則考慮了玻色量子液體和超導體中的Cooper對。他們的結論相似，即對於具有短程相互作用的d ≤ 2系統，在任何有限溫度下都不會有自發連續對稱破缺。Herbut（2007年）和Mudry（2014年）對該定理進行了描述。
2D XY模型中缺乏長程有序的證據是有限溫度下的相關性在遠距離處衰減至零（雖然呈冪律衰減），因此系統中沒有凈磁化。值得注意的是，雖然有效維度小於或等於2對於展示Mermin-Wagner-Hohenberg定理以及與之相關的BKT物理等拓撲現象至關重要，但與相互作用範圍和對稱性相關的條件則較為寬鬆。
Berezinskii-Kosterlitz-Thouless相變
正如前面討論的，由於Mermin-Wagner定理，在具有連續對稱性和短程相互作用的二維系統中，平滑的波動性擾動阻止了長程有序的形成。相對於自發對稱破缺，一種由於解綁渦旋-反渦旋對而驅動的拓撲相變可以發生，即所謂的Berezinskii-Kosterlitz-Thouless（BKT）相變（Berezinskii，1972；Kosterlitz和Thouless，1973）。它超越了Landau的分類，是一個無窮階相變（Jos´e，2012），即自由能呈現本質奇異性；即它保持無窮可微性，但在相變點處非解析。它的典型例子是二維XY模型[及其對偶的2D庫倫氣體模型（Fröhlich和Spencer，1981）]，該模型引起了很大的興趣，因為它巧妙地描述了二維熔化（Nelson和Halperin，1979；Young，1979），超流體氦的物理性質（Bishop和Reppy，1978），超導體（Beasley，Mooij和Orlando，1979；Hebard和Fiory，1980；Wolf等，1981），約瑟芬結界陣列（Resnick等，1981），向列液晶（Lammert，Rokhsar和Toner，1993），以及最近的鐵電材料（Nahas等，2017；Villanova，Kumar和Barraza-Lopez，2020；Xu等，2020；Gómez-Ortiz等，2022a）。
在典型的XY模型中，BKT相變的一個關鍵特徵是其與拓撲缺陷（即渦旋和反渦旋）之間的複雜關係（Kosterlitz和Thouless，1973）。Kosterlitz和Thouless的開創性啟發性論點指出，缺陷的能量和熵之間存在著微妙的對數競爭，其平衡點由TBKT標誌，隔絕了它們行為的兩種不同模式（Kosterlitz和Thouless，1973）。在這個相變溫度以下，由於缺陷的能量隨系統大小呈對數發散，單個缺陷受到抑制，因此預期渦旋或反渦旋不以獨立形式出現，而是以緊密結合的渦旋-反渦旋對的形式作為局部激發，因為有限的對能量與其半徑而不是系統大小相關。從大尺度的角度來看，這些束縛對看起來是拓撲中性的，因為它們限制並互相取消它們的方向擾動，從而允許相關性的代數衰減和準長程有序性。確實，迴旋數是可加的，並且對偶荷的兩個缺陷相互抵消，使得結果的紋理可以浸入均勻的背景中（見圖10），從而產生偶極相關的冪律衰減。隨著溫度的升高，配對的數量增加，並且開始形成更大的配對，這些配對由位於其中的其他較小的配對進行屏蔽。渦旋和反渦旋之間的平均分離距離變得與配對之間的分離距離相當。這些鬆散的配對在TBKT處有效解開，此時熵平衡了相互作用，使得單個拓撲缺陷能夠在系統中遊走，並且導致相關性在高溫無序相中以指數衰減。當存在大的化學勢時，支持稀薄的缺陷對相位，而對於較高的溫度，預期化學勢較小，因為在熱力學上更容易產生許多配對（其存在通過增加熵降低自由能），從而導致增加的屏蔽和有效解離，直到達到順電相位。這個相變特徵是非平衡動力學和遍歷性破壞的開始，伴隨著缺陷的動態消滅和生成。
因此，反映BKT相變特殊性的一個特徵在於它在足夠低的溫度下能夠維持準長程有序。這種準長程有序相的特徵是由序參數相關函數的緩慢代數衰減和其連續變化的臨界指數η所描述（Kosterlitz和Thouless，1973）。相關函數的冪律衰減來自於角度波動的對數增長，在二維空間中是特有的，類似於孤立的臨界點，但不受限於單一溫度。因此，可以將BKT相視為由臨界點組成的相，不同於高溫無序相，後者的相關函數呈快速指數衰減，但弱於真正的長程有序相。
值得注意的是，晶體固體也可以展現BKT物理現象。在維度d≥3中，熔化是一個由晶體到液體的一階相變，而在d=2中，從固體狀態（只有準長程平移有序，符合Peierls論點和Mermin-Wagner定理，以及長程定向有序）到液體狀態（同時具有短程平移和定向有序）的熔化機制涉及拓撲缺陷。晶體固體可以具有兩種類型的拓撲缺陷，其特徵是閉合迴圈（在二維中為點缺陷或在三維中為線缺陷），分別稱為位錯和位錯團，與平移和旋轉對稱性破缺相關。位錯具有稱為Burgers矢量的向量值拓撲荷，可以被看作是一個在否則規則的晶格中不對齊的原子鍵的排列。位錯的能量按照該矢量的模的平方進行縮放。位錯團則由對應於過多或不足材料的楔形角度所特徵化。在1970年代末，Halperin和Nelson（1978）以及Young（1979）提出了二維中的兩步熔化情景。位錯對的解除綁定在溫度Tm下使系統失去了準長程平移有序，而準長程定向有序仍然存在。在這個各向異性液相（也稱為六角液相）中，平移相關呈快速指數衰減，而定向相關呈緩慢的代數衰減。在溫度Ti > Tm下，另一個BKT類型的相變發生，其中構成位錯團的位錯對解除綁定，將各向異性流體相熔化成真正的無位置和無定向有序的液體。因此，自由位錯應該只出現在固體熔化成各向異性液相之後，而自由位錯團則應該在各向異性液相-各向同性液相熔化過程中被激發。
傳統上，2D XY模型描述的情況僅適用於具有局域相互作用的二維簡並系統，並且在涉及鐵電系統的實驗中很少出現。在這些系統中，非局域性質的偶極-偶極相互作用顯著降低了漲落，從而改變了XY模型的低溫性質（Maier和Schwabl，2004）。事實上，眾所周知，偶極相互作用傾向於穩定長程有序，抵抗熱漲落，並使基態可能出現自發極化（Maleev，1976；Maier和Schwabl，2004），或形成各種結構。然而，盡管低溫性質在很大程度上取決於偶極相互作用，但在較高溫度下，這種相互作用的影響較小（Feigelman，1979），並且已經證明在處理偶極XY模型時其貢獻是無關緊要的（Maier和Schwabl，2004；Vasiliev等人，2014），其中缺陷對之間的特征對數相互作用被證明是恢覆的。
對於受到破壞對稱晶格場影響的系統（例如鐵電材料），除了各向同性耦合外，還可以引入XY模型的各向異性變體來評估。這些模型也適用於介於XY模型和p-狀態時鐘模型之間的極限情況。在後一種模型中，自旋被限制在二維空間中，可以沿著均勻分佈的p個方向指向。Ortiz、Cobanera和Nussinov（2012）表明，如果p ≤ 4，則只能觀察到有序相和無序相之間的二階相變；然而，對於p ≥ 5，存在一個中間相，區分磁性相和參磁相，其特徵是BKT行為（Ortiz、Cobanera和Nussinov，2012）。
BKT物理在鐵電材料中的發現是通過對受到拉伸應變的BaTiO3超薄膜進行有效哈密頓量模擬和有限尺度縮放分析實現的（Nahas等，2017）。該研究在鐵電相和參電相之間的一個狹窄的溫度區域中觀察到BKT特性。由於有效降低的空間維度和較少的主要貢獻極化分量，受拉伸應變的BaTiO3超薄膜的過渡區域被增強成一個展現BKT特徵的臨界相。由於拉伸應變，局部電偶極矩被限制在膜平面內，因此極化可以被視為一個二分量有序參數。此外，在中間臨界的BKT相中，四重各向異性相對較不重要，該相顯示出二維XY模型的特性和近似連續對稱性；但在低溫下，四重各向異性通過抑制波動並恢復四重旋轉對稱性重新發揮作用。
與短程各向同性系統相比，各向異性的偶極相互作用在低溫下不可避免地引起鐵電長程有序。這賦予系統一個三相結構：一個真正有序的鐵電相，一個由空間相關性的代數衰減支持的準長程有序相，並具有新興的連續對稱性，允許穩定的拓撲缺陷以旋渦-反旋渦束縛對的形式凝聚，以及一個無序的、參電的相，其中相關性呈指數下降。隨後，在另一個二維鐵電系統中進一步數值上提出了BKT相，這個系統由單單位晶格層厚度的SnTe構成，通過外加應變可以控制BKT穩定溫度區域，甚至可能使其成為基態（Xu等，2020），或者在受拉應變的PbTiO3=SrTiO3超晶格中（Gómez-Ortiz等，2022a）。來自分子動力學模擬的報告還指出，在單層厚度的SnSe薄膜中也存在旋渦-反旋渦對（Villanova，Kumar和Barraza-Lopez，2020）。
在磁性晶體中，局域的自旋通常具有固定的大小。因此，自旋模式在本質上是非線性場，並且很可能展現穩定的拓撲孤子（Manton和Sutcliffe，2004）。相反，極化位移的振幅並不受限制。然而，從這個角度來看，當不存在消失的電偶極時，自旋和偶極場仍然可以被視為在拓撲上等價。實際上，後一種假設允許對每個電偶極進行連續歸一化（Toulouse和Kl´eman，1976；Gómez-Ortiz，2018），並將極化模式視為自旋的分布。
考慮到對稱性後，會出現更大的差異。自旋旋轉和極化位移由不同的物理性質所控制。因此，自旋和電偶極的可能值的限制（例如，有序參數空間）可以截然不同。例如，磁鐵通常表現出連續的旋轉對稱性，而在體積鐵電材料中，電偶極往往只沿著一些特定的晶體學方向排列。換句話說，晶體各向異性在鐵電材料中更加明顯。由於這種定向剛性，極性材料的有序參數空間可能看起來具有有限集拓撲（例如Ising模型或Potts模型；見圖2(a)），這解釋了關於僅存在領域壁的長期信念，而這些領域壁是唯一可能的極性拓撲。
然而，即使考慮到這一點，也不能阻止存在與磁性拓撲圖案相對應的非平凡極性對應物的存在。例如，在1980年代末，由於底層的準連續對稱性，人們預測了不正鐵電材料中的極化旋渦線（圖2(e)）（Tagantsev和Sonin，1989）。在不正晶體中，有序參數的大小較小，這減少了負責定向異性的高階能量項的作用。因此，領域壁頂點（圖4）的行為很像旋渦線，儘管對稱性在形式上仍然是離散的：因此有了準連續對稱性的術語（Tagantsev和Sonin，1989）。
此外，在不正（Griffin等，2012; Artyukhin等，2014; Lin等，2014）和正確的鐵電材料（Nahas等，2017; Xu等，2020）的臨界溫度附近出現的準連續對稱性被發現與非平凡的拓撲相變有關。預測存在於體積鐵電材料的破碎對稱相中的類似自旋的點和線拓撲缺陷和孤子（Nahas等，2015; Stepkova，Marton和Hlinka，2015; Prokhorenko，Nahas和Bellaiche，2017），並提出了正確鐵電材料中的一種新的拓撲保護機制（Prokhorenko，Nahas和Bellaiche，2017）。這些工作表明，如果遵循Toulouse和Kl´eman（1976）的原始理論，哈密頓算符的對稱性對於局部電偶極可能值的限制並不限制（Prokhorenko，Nahas和Bellaiche，2017）有序參數空間的拓撲。
目前，在低維鐵電材料中關於拓撲模式的理論仍處於早期發展階段。最近的研究表明，這些系統中拓撲模式的起源可以與無壓縮流體流動中出現的拓撲相關聯（Luk'yanchuk等人，2020），以及相分離過程（Nahas，Prokhorenko等人，2020）有關。前一種方法基於鐵電材料避免束縛荷∼∇ · P的自然傾向，從而使極化模式類似於無散流動（Luk'yanchuk等人，2020）。這一類比的發現為基於拓撲流體力學的理論打開了大門（Arnold和Khesin，1998）。與分離動力學的類比（Nahas，Prokhorenko等人，2020）涉及部分屏蔽的Pb（Zr，Ti）O3薄膜中的渦旋-反渦旋線陣列[圖2（e）]（也稱為奈米條紋域），以及它們與梅龍、雙梅龍和泡沫陣列[圖7（a）]之間的關係。它基於由去極化場驅動的序參量守恆，並將極化拓撲與大量的圖靈圖案（Turing，1952）聯繫起來。
F. 與其他領域中相關拓撲特性的關係
拓撲學的一個美妙之處在於，一旦一個特定的問題用其語言表達出來，就可以發現與其他看似無關的領域之間的意想不到的聯繫。一個例子是天空子子粒子，它們以英國核物理學家托尼·斯奎爾姆（Tony Skyrme）的名字命名。他在1960年代為相互作用的脈子發展了一個非線性場論，並展示了在拓撲上穩定的場配置作為粒子狀解的存在，可以被建模為拓撲孤子（Skyrme，1961）。令人驚訝的是，儘管核物理和凝聚態物理之間的典型能量尺度相差數個數量級，但基本理論可以在這兩個領域之間轉化。這並不是一個孤立的案例。正如諾貝爾獎得主F.威爾茲克（F. Wilczek）在他的評論文章《粒子物理學和凝聚態物理：傳奇仍在繼續》（Wilczek，2016）中總結的那樣，量子場論和拓撲（自發破缺對稱性、規範結構等）的許多思想已被證明在提出凝聚態量子物理的新現象方面是豐富的。相反，其他概念如准粒子或超導性也在相反的方向上發揮作用。
在過去的十年中，對能帶結構的拓撲分析起著主要作用。與幾何相位（Berry相位、Berry曲率、Chern數等）相關的數學概念緊密相連。一些具有拓撲性質的系統中的一些物理觀測量（例如二維絕緣體中的異常霍爾導電性）是量子化的。有關詳細信息，請參見Vanderbilt（2018）。這個理論與本篇回顧的主題之間的一個差異是，電子結構理論中的參數空間位於倒易空間（波矢k和相應的佔據布洛赫函數）。問題的拓撲性質之所以出現，是因為第一布里渊區可以被視為一個封閉的流形，因此可以在其中定義封閉的路徑。Chern數可以從第一布里渊區表面積分中的給定能帶的Berry曲率定義。這個表面的Chern數或Chern指數可以被視為附加在表面上定義的態流形的拓撲指數。
可以證明，磁性天空子的天空子數確切對應於Chern數，將能帶結構的拓撲與自旋的非平凡旋渦相連接。假設一個自旋1/2粒子，其波函數可以在外部磁場的作用下由一個旋量描述，該磁場的方向由一個單位矢量nˆ確定。如果相應的相互作用哈密頓算符被對角化，那麼從本徵態計算得到的Berry曲率在形式上等同於Pontryagin密度，其積分結果就是天空子數（Nagaosa和Tokura，2013; Gómez-Ortiz，2018）。
在極性天空子的情況下，我們可以定義類似於磁性對應物（旋渦度、天空子數等）的拓撲指數。儘管存在這些相似之處，但也存在差異：在極性非平凡紋理的情況下，局部偶極在實空間中被定義，並不能確定我們是否可以定義一個可以對角化的量子力學（2×2）哈密頓算符，就像磁性天空子的情況一樣。
還可以建立與流體力學的聯繫，在那裡自然地定義了物理量，如旋渦度和螺旋度（Moffatt和Ricca，1992）。然而，在這種情況下，這些特徵與液體中粒子運動引起的流束相關聯，因此與它們的速度有關。在這裡，數學形式上再次相似，可以進行思想交流。但我們必須記住，我們的極化配置是靜態的；即，核和電子在我們的絕緣材料內不自由運動。二維晶體中的熔化和位錯，或者前面討論的二維液晶中的消失錯位，也展示了類似於III.D.2節中描述的拓撲BKT過渡。就像在VI節中一樣，極性天空子材料中也預期出現相同類型的六角相和相變過程。
IV. 在極性系統中發展拓撲相的物理成分
A. 靜電相互作用
靜電是極性氧化物形成非平凡拓撲相的最重要驅動力。
更具體地說，要求最小化與極化不連續性（發散）引起的去極化場的靜電能量代價。這種去極化場取決於多個因素，如系統的維度和特徵尺寸、周圍介質的極化能力（通常是奈米復合材料或鐵電-介電超晶格的介電質），超晶格的周期性，或者靜電邊界條件（從斷路到短路），其控制對於穩定新型拓撲相是至關重要的。
形成奈米領域
從基礎的靜電學中人們熟知，當存在空間變化的極化場時，束縛荷密度由ρbound(r) = -∇ · P(r)給出，其中ρbound(r)和P(r)是在遠大於晶格常數的長度尺度上粗化的場。在奈米顆粒或薄膜中的自由絕緣表面的情況下，極化的表面法向分量導致表面的束縛荷為σbound = P · nˆ，其中nˆ是法向表面的單位向量[圖11(a)]。這些經典概念在Vanderbilt和King-Smith（1993）以及Resta和Vanderbilt（2007）的極化現代理論中得到了鞏固（這些理論在大多數第一性原理代碼中使用）。這些束縛極化荷負責產生大的消極化場Edep。由於極化和消極化場的耦合產生的靜電能量通常足夠強大，能夠完全抑制通常由橫向光學模式軟化驅動的正確鐵電體的極化。如果要保留極化狀態，必須以多種方式之一降低這種能量（Wurfel、Batra和Jacobs，1973）。如圖11(b)所示，可能的機制之一是形成領域（Catalan等，2012）：由邊界分隔的具有不同極性的小空間區域，稱為領域壁，在鐵電體中領域壁是狹窄的（典型寬度約為晶格常數的量級）。相反極化的領域在表面上導致整體荷中性化，降低了消極化場和相關的靜電能量。然而，領域的形成並不是免費的，因為當通過領域壁時，由於偶極矩的變化而導致的短程相互作用的改變產生了一種能量成本，稱為領域壁能量，在現象學模型中通過梯度能量項引入。在領域壁處的靜電和梯度能量之間的微妙平衡產生了Landau-Kittel縮放定律，在具有直線領域壁的系統中，該定律聲稱領域的寬度與薄膜的厚度的平方根成比例（Lines和Glass，1977；Catalan等，2012），因此它們可能約為幾個奈米的量級。結果，形成了180°條帶領域，其中極化在相鄰層之間以交替的符號形成橫波。如第III節所示，這些領域壁可以被視為2D的拓撲缺陷。為了簡化起見，我們在這裡專注於平面領域壁。然而，在鐵電體中，還可能存在其他奈米尺度領域的形態（Hlinka和Ondrejkovic，2019），包括針狀領域，具有圓柱形狀的小領域（相當於所謂的磁性鐵磁體中的氣泡領域），以及側向限制的球狀奈米尺度領域。
儘管在這些條件下，去極化場在域的內部被大幅減少，但仍然存在一些在其表面附近的雜散場分量。對於鐵電領域中突現的雜散場的最初計算是基於Kittel模型，由Bratkovsky和Levanyuk（2000年，2001年，2009年）進行的，然後在更準確的Ginzburg-Landau模型中由De Guerville等人（2005年）和Luk'yanchuk，Lahoche和Sen´e（2009年）進行了研究。這些雜散場足夠強大，可以克服鐵電材料中的大晶體各向異性所帶來的能量代價，其中主要的序參數（極化）與晶格強烈耦合。因此，儘管在極化梯度、極化各向異性和彈性能量方面代價很高，為了最小化靜電能量，近表面區域的極化方向垂直於域所確定的方向[圖11(c)]，形成仍然滿足極化法向分量在邊界處連續的90°域壁，以確保沒有凈荷存在。這是比直線180°域所施加的條件更強的條件，原因在於極化荷（即極化的發散）必須消失以最小化靜電能量（De Guerville等人，2005年；Luk'yanchuk，Lahoche和Sen´e，2009年）。圖11(c)中繪製的極化磁通封閉配置包含多個短分段的90°和180°域壁並具有相互作用。在域壁界面終止處的明顯N´eel特性導致域的展寬（De Guerville等人，2005年；Stephenson和Elder，2006年；Eliseev等人，2009年）。該結構與Landau和Lifshitz（1935年）以及Kittel（1946年）針對磁性系統提出的封閉域類似。然而，請記住，由於鐵電材料中的大各向異性能量，窄的90°域應該是不利的。如果系統在受壓應變外延條件下生長，這一點尤其重要。預計極化逐漸旋轉以最小化各向異性能量，形成域壁之間上下域之間的極化向量的弧形旋轉，形成圖11(d)中所示的渦旋。總而言之，圖11中的不同面板展示了如何逐漸將理想的Ising域[圖11(b)]在一個假設的模型系統中通過微調各種相互作用轉變為渦旋陣列[圖11(d)]。值得注意的是，在關於超薄PZT薄膜中渦旋的最初理論預測中（Kornev，Fu和Bellaiche，2004年），PZT中的渦旋陣列被稱為"奈米條紋"，這突顯了這兩種結構之間的關係。此外，Nahas等人（2020年）和Nahas，Prokhorenko等人（2020年）將圖11(d)中的渦旋結構稱為條紋域。
值得注意的是，基於第一原理的原子尺度模擬已被用於驗證Landau-Kittel定律在ð001Þ PbðZr; TiÞO3（Lai等，2007a），多鐵BiFeO3超薄膜（Prosandeev、Lisenkov和Bellaiche，2010）和PbTiO3=SrTiO3超晶格（Gómez-Ortiz等，2023）中的應用。這個定律在厚度大於1.6奈米（超過四個單位晶胞）時被發現是有效的，即使在領域壁附近存在類似渦旋的偶極排列和相當比例的平面表面偶極。在1.2奈米以下（少於三個單位晶胞），領域消失。在BiFeO3中，領域壁周圍的氧八面體傾斜和表面附近（以及遠離領域壁處）的磁電耦合之間的相互作用在多鐵薄膜中觀察到這一定律中扮演了重要角色。此外，這些模擬還發現了一個由渦旋陣列組成的不尋常模式存在於表面。這個模式後來在實驗中得到了確認（Nelson等，2011；Mundy等，2022）。一個包含完整靜電表達式的Ginzburg-Landau自由能模型（Bennett，Muñoz Basagoiti和Artacho，2020）表明，對於足夠大的鐵電層厚度，Landau-Kittel定律是成立的。但是，鐵電層越薄，領域的寬度越小，並且會達到一個最小值，然後發散到單領域相。該模型假設領域壁無限薄，因此不適用於奈米尺度的薄膜厚度。
超晶格中周期性的作用
雖然先前的推理適用於具有自由表面的奈米顆粒或薄膜，但可以輕易地概括到絕緣界面的情況，例如鐵電-電介質超晶格中的界面。在這種情況下，極化的界面法向分量差異導致界面束縛荷σbound ¼ ðP2 − P1Þ · nˆ。因此，極化的任何不連續性都會產生強烈的電場，傾向於抑制鐵電層中的極化EFE並使電介質層極化EPE（Bousquet、Junquera和Ghosez，2010）。與這些電場相關的靜電能代價很大，因此系統會尋求一個更有利的基態。
對於足夠短的周期性，一種可能性是在整個結構中採用近似均勻的面外極化狀態，使得電介質層極化（圖12的左側面板）。在這種情況下，兩種材料“電靜耦合”。極化的值只取決於鐵電材料的相對分數（Dawber等人，2007）和機械邊界條件。另外，如第IV.B節所討論的，在這種短周期超晶格的拉伸應變外延條件下，淨極化可以在鐵電層內部轉向到平面上，從而形成a1=a2域。
然而，隨著個別層變厚，域的形成成為消除去極化場並降低超晶格總能量的一種更有效的機制（圖12的右側面板）。極化主要局限於鐵電層，相反極化的域篩選去極化場。在這種情況下，鐵電層和電介質“電靜解耦”。在相對較大的長度尺度上，靜電和短線能量之間的平衡導致形成傳統的閉合象限陣列。閉合象限陣列的週期可能與Kittel定律中的週期不同[例如，Tang等人（2015）將其視為與PbTiO3
層厚度呈線性相關，斜率等於ffiffiffi 2p]。在中等尺度上，這些超晶格是出現在鐵電層內部的順時針-逆時針渦旋的完美背景，其中局部極化不斷旋轉。從強到弱的層間耦合轉變以及隨周期性的改變的相應域結構首次在KNbO3=KTaO3應變層超晶格中由Stephanovich，Luk'yanchuk和Karkut（2003）和Stephanovich，Luk'yanchuk和Karkut（2005）進行了定量描述，並在PbTiO3=SrTiO3超晶格中進行了後續的實驗研究，由Zubko等人（2012），Lisenkov和Bellaiche（2007）使用基於第一原理的有效哈密頓量，由Aguado-Puente和Junquera（2012）使用第一原理以及由Hong等人（2017）使用相場建模（如圖13所示）。使用有效哈密頓量方法還研究了施加在長週期BaTiO3=SrTiO3超晶格上的直流和交流電場對從耦合納米條帶到單域相的相變的影響（Lisenkov，Ponomareva和Bellaiche，2009）。
控制相鄰PbTiO3層之間的厚度比對於控制PbTiO3=SrTiO3超晶格中的閉合象限陣列配置非常重要。當PbTiO3厚度在多層中固定時（相鄰PbTiO3層的厚度比為1），在每個PbTiO3層中觀察到具有180°與界面垂直的V型閉合象限陣列。當相鄰PbTiO3層的厚度比從0.4到0.7範圍時，在較厚的PbTiO3層中識別到周期性的V型閉合象限陣列，在較薄的PbTiO3層中發現具有180°與界面平行的H型閉合象限陣列（Liu，Wang等人，2017）。
最後，請注意，由於去極化場的不完全屏蔽，具有對稱電極的鐵電薄膜中可以形成閉合象限域的週期陣列，這是第一原理理論預測的（Aguado-Puente和Jun quera，2008），並且得到了實驗觀察（S. Li等人，2017）。這對於第V.A.7節中描述的超晶體的形成有影響。
B. 彈性相互作用
鐵電鈦酸鹽中已知極化和晶格自由度之間的耦合是強烈的。在立方鈦酸鹽中，鐵電相變不僅涉及自發極化的凝聚，還伴隨著宏觀應變的出現，即自發晶格畸變。這種極化-應變耦合是極相的巨大壓電性質的起源，這一性質對於第I.A.3節中補充資料（472）中討論的PFM技術以及各種應用（如對哈伯望遠鏡和3D超聲波成像和聲納的重焦）非常重要。更廣泛地說，它也反映了鐵電性對機械邊界條件的強烈敏感性，與鐵磁材料不同。
施加應變到鐵電薄膜有不同的途徑。先進的合成技術的出現在補充資料（472）的第I.A.1節中進行了詳細的回顧，為以原子尺度控制製造高質量的氧化物異質結構打開了大門。現在可以完全一致地生長單晶鈦酸鹽氧化物，具有低密度的螺紋位錯。與鈦酸鹽相容的化學和結構相容基板可以製備出具有控制的終止和小粗糙度（在寬度僅有幾分之幾納米的台階上具有原子平坦性）的特點。在這些高結晶質量的異質結構中，薄膜與基板完全匹配；也就是說，無論在體積中是否是最穩定的相，外延層都被迫以與底層基板相同的面內對稱和晶格常數生長。商業基板的晶格常數範圍可以允許典型鈦酸鹽薄膜（如BaTiO3、PbTiO3、Pb（Zr；Ti）O3和SrTiO3）產生壓縮和拉伸的雙軸應變。除了基板施加
的外延應變外，還有其他的應變源，如薄膜和基板之間的熱膨脹系數差異或者產生非均勻應變場的晶體缺陷的存在。
鎖定在基板上但在垂直於平面方向上自由鬆弛的薄膜的功能性質可能因為基板施加的雙軸應變而發生顯著變化。事實上，應變工程的鐵電性質已成為一個強大的通用概念（Rabe，2005；Schlom等，2007，2014）。從實驗上已經顯示了如何通過控制鐵電薄膜與基板之間的晶格失配來調節物理量到所需值，這提供了一種替代傳統的A和B陽離子的取代和合金化（“化學壓力”）的方法。應變工程有其局限性，因為外延應變僅在達到臨界薄膜厚度之前才能得到保留，否則將形成失配位錯或雙晶。報導了在GdScO3和DyScO3基板上生長的BaTiO3的相變溫度發生了大幅偏移（Choi等，2004）。對於生長在絕緣ð001Þ導向的SrTiO3基板上的PbTiO3薄膜也觀察到了相變溫度的類似增強（Streiffer等，2002）。如第V節所討論的，這將對在高溫條件下穩定拓撲相的情況產生影響。此外，在體相圖中不存在的新相可能被穩定下來。例如，應變可以在室溫下在SrTiO3中誘導出自發極化，其體相在無應力的純淨狀態下保持為電異常，直到0 K（雖然它被認為是起始鐵電性）（Haeni等，2004）。
在假設單一均質領域狀態的情況下，通常情況下，對於一般的鈦酸鹽而言，在ð001Þ基板上，足夠大的外延壓縮（拉伸）
應變將有利於c相（aa相），其中c相為面外極化，伴隨著面外晶格常數的增強（收縮）。在不同的化合物中，在中間區域預測到不同的行為，但最典型的行為是從面外到面內的連續極化旋轉（Kornev，Fu和Bellaiche，2004）。如果鐵電薄膜允許形成領域，那麼可以通過外延應變工程來穩定於c=a=c=a（其中c和a為面外和面內導向的領域，分別）或者a1=a2=a1=a2（其中a1和a2為面內正交導向的領域）的鐵彈性90°領域壁。這一事實將對鐵電-電介質超晶格中拓撲相的相圖產生深遠的影響。
對於相同的周期性和相同的電靜能邊界條件，在雙軸應變變化下可以通過改變面內應變從四方c相到天線圈、渦旋，最終到a1=a2鐵電雙晶界相，如圖14所示，使用相場方法獲得的相圖顯示了這一點。
李等人（2019年）研究了具有失配應變的PbTiO3=SrTiO3超晶格中流束封閉區域陣列的演化。機械力，例如通過掃描探針尖端作為壓痕工具的壓縮應力刺激，可以在PbTiO3=SrTiO3超晶格中誘導可逆的相變，從渦旋相轉變為平面內具有極化的a相（P. Chen等人，2020年），可能與a=c區域（Li等人，2020年）中的四方相c相共存。此外，正如第V.E.2節所討論的，外延應變在從天線瓦格子到梅龍瓦格子的競爭和轉變中也起著作用（Wang等人，2020年）。
與壓電性類似，彎曲電效應是一種重要的耦合性質（Stengel和Vanderbilt，2016年）。前者描述了電極化和均勻應變之間的線性耦合，只存在於非中心對稱材料中，而後者與電極化和應變梯度之間的線性耦合有關，總是符合對稱性要求。彎曲電效應在薄膜中可能非常大，因為在薄膜中可以產生遠遠超過塊相可能容納的應變梯度。由於極化渦旋拓撲本身具有一組大而相關的應變和極化梯度，因此彎曲電效應在其中的作用被認為特別強大（Shimada等人，2021年）。彎曲電效應在新型覆雜極化形貌的產生中的非平凡作用已經被李等人（2017年）討論過，他們的實驗圖像與相場模擬非常吻合，前提是激活PbTiO3層的縱向和剪切彎曲電系數。此外，唐等人（2015年）分析了PbTiO3流束封閉象限中受拉伸應變的領域壁上剪切應變受PbTiO3彎曲電張量剪切分量的影響。提出了由於表面原子階梯和雙晶壁引起的非均勻應變和應變梯度與彎曲電效應的半渦旋生成之間的相互作用，從而產生所謂的彎曲電極化配置（Lu等人，2021年）。這些可以通過原子力顯微鏡（AFM）尖端與薄膜上表面的相互作用生成的可移動半渦旋來關閉，其位置由尖端的移動控制。AFM尖端下的極化結構的動態變化將產生位移電流和微弱磁場。從第一原理出發，Baker和Bowler（2021年）分析了PbTiO3=SrTiO3超晶格中由表面溝槽產生的非均勻應變和應變梯度的影響。通過有限元建模和Landau-Ginzburg-Devonshire現象學方法，結合靜電方程和彈性理論，Morozovska，Eliseev等人（2021年）分析了薄BaTiO3鐵電薄膜中幾種穩定領域結構（包括條紋領域和渦旋）的彎曲電耦合對自發極化的空間分布和溫度行為的影響。Morozovska，Hertel等人（2021年）的模擬結果還推斷出彎曲電耦合與薄鐵電薄膜和圓柱形鐵電納米顆粒中手性極化渦旋形成（形成所謂的彎曲電極化結構）之間存在關聯。
最後，一些研究工作中出現了在無機械邊界條件幹擾的情況下研究拓撲結構基態的情況，通過將鐵電-介電超晶格從基底上解離（Shao等人，2023年）。當溫度升高時，從拓撲荷為+1的天線瓦格子狀態到二維梅龍矩形晶格（其拓撲荷為+1/2）的相變被發現。李等人（2022年）研究了具有SrRuO3底電極的自由懸浮PbTiO3=SrTiO3超晶格。對於足夠薄的SrTiO3層，釋放超晶格薄膜從基底上導致極化重新定向到薄膜平面，由於相對於由基底夾持的超晶格而言，靜電相互作用和彈性相互作用之間的平衡突然改變。而極化旋轉則改變了超晶格與薄的SrRuO3層之間的晶格參數不匹配，導致異質結構卷曲成微型管道。
請注意，以下是將回答內容翻譯成臺灣常用的正體中文：
C. 非共線極化的來源
磁性天鵝磁子複雜的旋轉自旋結構大多源於Dzyaloshinskii-Moriya交互作用（DMI）（Dzyaloshinsky, 1958; Moriya, 1960）。這種反對稱交互作用在具有強自旋軌道耦合的系統中出現，作用於相對位置為R12的兩個自旋S1和S2，其哈密頓量表示為：
HDM = -D12 · (S1 × S2)（6）
其中D12被稱為Dzyaloshinskii-Moriya矢量，衡量著兩個自旋之間的交互作用，並取決於材料和自旋之間的距離。
僅考慮DMI時，能量最小化的結構是鄰近自旋互相正交的配置。如果D12與R12平行，則基態的自旋結構看起來像圖15(a)中所示的螺旋結構。這種螺旋狀態是手性的，因此具有相應的手性。如果D12垂直於R12，所得到的結構則沒有手性，如圖15(b)所示。根據這些示意圖，可以推斷自旋圍繞與D12平行的軸旋轉。如果D12·R12，DMI會促使上下自旋之間形成布洛赫型磁域壁，而D12⊥R12則形成尼爾型磁域壁。這種交互作用是磁性系統中拓撲樣式（如渦旋、天鵝磁子和半天鵝磁子）穩定性的根本原因（Strkalj等，2019; Tian等，2019）。
長期以來，在鐵電材料中尋找類似DMI的電場效應一直是困難的。這歸因於DMI的物理起源。在磁性中，DMI來自自旋軌道耦合和超交換的相互作用。通過檢視鐵電扭曲無法簡單識別這兩種貢獻，這使得電場類似DMI的性質仍
然不明。
最近，Erb和Hlinka（2020）對212種結構相變的對稱性進行了系統性分析。預測了三種物種存在與磁性系統DMI類似的體積自由能密度項，但無法預測其強度。因此，儘管這些能量貢獻可以引發與DMI類似的電場布洛赫磁子，但在鐵電材料中缺乏這類相互作用驅動的實驗證據表明它是一種較弱的效應，而其他相互作用則佔主導地位。
趙等人（2021）最近通過群論對稱性分析和第一性原理模擬的結合，證明了鈦酸鉛等鈣鈦礦結構中存在電場DMI，與磁性DMI存在一對一的對應關係。電場DMI的強度和耦合由氧八面體傾斜介質化，這在電場中起到了類似於磁性中自旋軌道耦合的作用（圖16）。識別到了包含三個扭曲之乘積（三線性耦合）的能量表達式中的多達12個不同貢獻。這些乘積涉及氧八面體的同相或反相傾斜以及A和B陽離子的鐵電或反鐵電運動。這三種模式之間的對稱關係使得，如果其中兩種是允許的，第三種將自發出現以降低能量。能量展開中的這些新的不變項產生非共線的電偶極圖案，起到了電場DMI交互作用的作用。
陳、趙等人（2022）進一步研究了這種電場Dzyaloshinskii-Moriya交互作用的微觀起源。
然而，需要注意的是，在鐵電材料中形成布洛赫型磁域壁並不一定需要類似DMI的交互作用。Wojdeł和Íñiguez（2014）表明，PbTiO3中的常見180°磁域壁在低溫下具有布洛赫型特徵，其中自發電極化被限制在磁域壁
平面內。第一性原理計算進一步揭示了它們源於Pb原子的大位移和Pb-O混成在磁域壁上的作用，這導致磁域壁能量降低了10％（Wang等，2014；Wojdeł和Íñiguez，2014；Wang, Zhu和Ma，2017）。PbTiO3的鐵電不穩定性主要由Pb陽離子的偏心形成，以與周圍一些氧形成化學鍵。在鐵電領域中，偏心作用沿著特定方向發生，並使原子達到最佳配置。磁域壁上的Pb陽離子並不會「忘記」這種偏心趨勢；事實上，儘管受到多種因素的影響（例如降低的維度和不利的應變條件），這種趨勢仍然存在並最終產生布洛赫型極化的成分。這些布洛赫型磁域壁的形成是單相材料（如PbTiO3）中形成柱狀狀態的結果，也是在PbTiO3=SrTiO3異質結構中發現的室溫天鵝磁子的根本起源（Das等，2019）。
