一、簡介
在寒冷的日子裡，池塘表面會迅速結冰。但它不會長成光滑、無特色的覆蓋物。相反，水開始在許多地方單獨結冰，並且不斷增長的冰塊以隨機方式結合在一起，在它們之間留下鋸齒形的邊界。這些不規則邊緣是物理學家所謂的“拓撲缺陷”的一個例子 -缺陷是因為它們是冰的晶體結構被破壞的地方，並且是拓撲的 ，因為對它們的準確描述涉及拓撲學中體現的對稱性思想，數學分支專注於連續曲面的研究。
目前的粒子物理學理論同樣預測，在宇宙的早期演化過程中，幾乎肯定會形成各種拓撲缺陷。正如水在溫度下降時變成冰（相變）一樣，基本粒子之間的相互作用也會經歷不同的階段，因為這些粒子的典型能量會隨著宇宙的膨脹而下降。當條件有利於新相的出現時，它通常會同時出現在許多地方，當新相的不同區域相互碰撞時，就會產生拓撲缺陷。在現代宇宙中探測到這種結構，將提供有關大爆炸後最早瞬間事件的寶貴信息。另一方面，它們的缺席將迫使對當前的物理理論進行重大修改。
這套講座的目的是向讀者介紹宇宙學中拓撲缺陷的主題。我們首先回顧缺陷形成和演變的基礎知識，以了解整體情況。我們將看到，在試圖描述早期宇宙的大多數有趣的高能物理模型中，普遍預測存在缺陷。標準宇宙學的基本要素，及其成功和缺點，在本卷的其他地方都有介紹，因此我們不會在這里花太多篇幅來介紹它們。然後，我們將重點關註一些特定主題。我們將首先討論導電宇宙弦及其對宇宙學最重要的預測之一，即弦環平衡配置的存在，稱為渦子。例如，來自宇宙弦模擬模型的溫度各向異性的 CMB 雙譜。下面還回顧了其他主題，例如，這些宇宙實體導致大規模結構形成的方式以及各種缺陷留下的一些天體物理足跡，我們將討論通過天體物理觀測隔離它們的影響的可能性。此外，我們將簡要考慮弦的引力輻射，以及宇宙缺陷與凝聚態系統（如液晶等）中形成的眾所周知的缺陷之間的關係。
許多與宇宙缺陷直接相關的現代研究領域沒有包含在這些筆記中。這個主題發展得如此之廣、如此之快，以至於我們能做的最好的事情就是讓讀者參考一些已經可用的近期優秀文獻。因此，例如，請查看 Achucarro 和 Vachaspati [2000]關於半局域和電弱弦(2) 處理的 報告，以及 [ Vachaspati, 2001 ] 對某些拓撲缺陷（如單極子、疇壁）的審查而且，這裡幾乎沒有涵蓋電弱弦。對於導電缺陷，特別是宇宙弦，參見 [ Gangui & Peter, 1998] 簡要概述了許多不同的天體物理學和宇宙學現象，以及 Carter [1997] 關於膜動力學及其在傳導宇宙弦和渦流中的應用的全面豐富多彩的講義。如果您正在研究宇宙結構形成， Durrer [2000] 對全球拓撲缺陷的現代發展及其與 CMB 各向異性的關係進行了很好的回顧，而 Magueijo 和 Brandenberger [2000] 提供了一組富有想像力的講座，並更新了局部弦模型大規模結構形成以及具有宇宙缺陷的重子發生。
如果你想知道你是否可以擁有一個袖珍設備，比如手機的大小，來按需產生“拓撲缺陷”[ Chuang，1994 年]，那麼學校的會議記錄就拓撲 缺陷和非平衡進行了討論Bunkov & Godfrin [2000]編輯的 dynamics 適合你；本卷中的所有講座詳盡地說明了拓撲缺陷的跨學科及其在物理學各個領域的相關性，例如低溫凝聚態物質、液晶、天體物理學和高能物理學。
最後，以上所有（以及更多）都可以在 Hindmarsh & Kibble [1995]的簡明評論中找到，特別關注宇宙弦的物理學和宇宙學，以及Vilenkin & Shellard [2000] 關於宇宙弦的專著 和其他拓撲缺陷。
1.1. 缺陷形成的過程
粒子物理學理論試圖統一所有基本相互作用，其中一個核心概念是對稱性破缺。隨著宇宙的膨脹和冷卻，首先是重力相互作用，然後是所有其他已知力量將開始採用自己的特性。在標準熱大爆炸理論的背景下，基本對稱性的自發破缺在早期宇宙中實現為相變。這種相變具有幾個令人興奮的宇宙學結果，因此在粒子物理學和宇宙學之間提供了重要的聯繫。
有幾個對稱性預計在時間的推移中會被破壞。在這些轉變中，時空被一種名為“希格斯場”的假設力場“定向”。該場定向表示從具有較高對稱性的狀態轉變為在考慮的系統下遵守較小對稱性規則的最終狀態。作為日常比喻，我們可以考慮從液態水到冰的轉變；結晶結構的冰（其中水分子按照明確的晶格排列）破壞了系統處於較高溫度液態相時的對稱性，此時系統中的每個方向是等價的。同樣地，正是在希格斯場中的定向破壞了粒子和力量之間的高度對稱狀態。
在建立了一個基本粒子和力量模型之後，粒子物理學家和宇宙學家今天正在艱難地尋找統一所有基本相互作用的理論。正如我們所提到的，所有主要候選理論中的一個重要組成部分是對稱性破缺的概念。實驗已經確定宇宙中存在四種物理力量；除了重力之外，它們被稱為強力、弱力和電磁力。在熱大爆炸的奇異點附近，當能量達到最高時，人們相信這些力量在一個單
一的、包羅萬象的相互作用中統一起來。隨著宇宙的膨脹和冷卻，首先是重力相互作用，然後是強力相互作用，最後是弱力和電磁力，它們將從統一方案中分離出來，並在一系列對稱性破壞中採用它們現在的獨特特性。
理論物理學家仍在努力理解如何將重力與其他相互作用統一，但對於強力、弱力和電磁力的統一存在著合理的理論。事實上，在1983年，歐洲加速器實驗室CERN發現了證明弱力和電磁力基本統一為原始的“電弱”力的傳遞粒子 - W玻色子和Z玻色子。在標準大爆炸理論的背景下，隨著宇宙冷卻，宇宙學相變是由於基本對稱性的自發破壞（例如電弱力）而產生的。例如，當可觀測宇宙年齡為10^-12秒，溫度為10^15開爾文，且大小只有現在的一部分（10^15分之一）時，電弱相互作用分裂為獨立的弱力和電磁力。除了與不同力量的出現相關的相變之外，還存在其他相變。例如，夸克 - 強子禁錮相變發生在宇宙年齡約為一微秒時。在這個相變之前，夸克 - 這些將成為原子核組成粒子的粒子 - 被當作自由粒子移動；之後，它們永遠地束縛在質子、中子、介子和其他結合粒子中。
正如我們所說的，破壞對稱性的標準機制涉及到貫穿整個空間的假設希格斯場。隨著宇宙冷卻，希格斯場可以采用不同的基態，也稱為理論的不同真空態。在對稱的基態中，希格斯場在任何地方都是零。當希格斯場取非零有
限值時，對稱性破壞。参见图1.1。
图1
圖1.1 希格斯場溫度相關的一級相變的有效勢能。對於非常高溫度，遠高於臨界溫度Tc，勢能只有一個最小值對應希格斯場為零。然後，隨著溫度的降低，一系列最小值產生（具體數量取決於所考慮的對稱性類型，可能是兩個或多個、離散的或連續的）。在Tc以下，希格斯場為零不再是全局最小值，系統會自發地選擇一個新的（更低的）最小值，比如說對於某個角度θ和非零值η，希格斯場取phi=eta exp(itheta)（對於覆數phi）。這個選擇標志著宇宙相變中的對稱性破缺，以及產生相互沖突的場取向θ的隨機區域。在宇宙背景下，這些域的合並導致宇宙缺陷的形成。
Kibble [1976] 首次觀察到缺陷形成的可能性，他意識到在冷卻的宇宙中，相變通過形成不相關的域來進行，然後這些域合併在一起，留下缺陷的遺跡。在膨脹的宇宙中，空間上相距很遠的區域之間沒有足夠的時間“相互通信”，因此它們是不相關的，由於缺乏因果聯繫。因此，合理地假設不同的區域最終具有希格斯場的任意取向，當它們合併在一起時，具有非常不同優選方向的區域很難調整和平滑地匹配。在這些區域界面上，缺陷形成。這些“殘骸”缺陷是不可思議的能量的獨特例子，這一特點吸引了許多宇宙學家的注意。
1.2. 相變和有限溫度場理論
已知相變發生在早期宇宙中。我們提到的例子是夸克到強子（限制）轉變，QCD 預測能量約為 1 GeV，電弱相變約為 250 GeV。在大統一理論 (GUT) 中，旨在描述超出標準模型的物理學，預計其他相變將發生在 10 15 GeV級的能量；在此期間，希格斯場趨於下降到其潛力的最小值，而宇宙的整體溫度由於膨脹而下降。
使上述考慮更加量化的一個熟悉的理論是 | | 4理論，
其中m 2 0 > 0。右側的第二項和第三項產生復標量場通常的“墨西哥帽”勢。對於遠大於臨界溫度Tc的能量，場處於所謂的“假”真空中：以真空期望值 <| 為特徵的高度對稱狀態。| > = 0。但是，當能量降低時，對稱性自發地破缺：一個新的“真”真空出現，標量場降低勢能，落在一個退化的新極小值上。在這種情況下，真空期望值變為 <| | > 2 = 6米0 2 / 。
70 年代在有限溫度場理論方面所做的研究 [ Weinberg, 1974 ; 多蘭和傑克，1974 年； Kirzhnits & Linde, 1974 ] 得出的結果是，與溫度相關的有效電勢可以寫為
其中T c 2 = 24 m 0 2 / ， m 2 ( T ) = m 0 2 (1 - T 2 / T c 2 )，並且 <| | > 2 = 6米2 ( T ) / 。我們很容易看到，當T從下方接近T c時，對稱性恢復，我們又一次得到 <| | > = 0。在凝聚態術語中，上述轉變是二階的 [ Mermin, 1979 ]。 (3)
3在一階相變中，階參數（例如，在我們的例子中為 < | | >）不是連續的。它可以通過氣泡成核進行[Callan & Coleman, 1977; Linde, 1983b ] 或通過 spinoidal 分解 [ Langer, 1992 ]。相變也可以是連續的二階過程。“順序”敏感地取決於出現在拉格朗日量中的耦合常數的比率。
1.3. 粗磨機制
上一小節中描述的模型是一個示例，其中轉換可能是二階的。正如我們所見，對於遠大於臨界溫度的溫度，標量場的真空期望值在空間的所有點都消失，而對於T < T c，它會隨著時間平穩地演化為非消失 <| | >。熱波動和量子波動都會影響 <| 所採用的新值 | > 因此它沒有理由在空間上保持一致。這導致域的存在，其中 <| ( ) | > 是連貫的，而區域則不是。這一事實的後果是本小節的主題。
相變也可以是通過氣泡成核的一級過程。在非常高的能量下，對稱破缺勢能<| | > = 0 作為唯一的真空狀態。當溫度下降到Tc時，會形成一組真空，退化為之前的真空。然而，這次轉變並不像以前那樣順利，因為潛在的屏障將舊（假）真空和新（真）真空分開（參見，例如 圖 1.1）。如果這個小溫度下的勢壘足夠高，與系統中存在的熱能相比，場 將保持在假真空狀態，即使是小的 ( < T c）溫度。經典地，這是完整的圖片。然而，量子隧穿效應可以將場從舊的真空狀態中解放出來，至少在空間的某些區域是這樣：空間中每單位時間和體積的概率 真正真空的氣泡會成核。因此，結果是形成真正真空的氣泡，每個氣泡中的場值獨立於所有其他氣泡中的場值。這再次導致字段相關的域的形成，而屬於不同域的字段之間不存在相關性。然後，在創造之後，氣泡將以光速膨脹，周圍環繞著虛假真空域的“海洋”。與二階相變相反，這裡的成核過程非常不均勻並且<| ( ) | > 不是時間的連續函數。
現在讓我們轉向相關長度及其在拓撲缺陷形成中的作用的研究。確定 <| 域大小的一個重要特徵 ( ) | > 是否相干是由場的空間相關性給出的 。簡單的場論考慮 [參見，例如，Copeland，1993] 的長波長波動導致 相關函數G ( r ) < ( r 1 ) ( r 2 ) > 的不同功能行為，我們注意到r = | r 1 - r 2|。發現的內容從根本上取決於所需的相關性是否是在空間中由距離 r 分隔的點之間計算的，距離r遠小於或遠大於特徵長度 -1 = m ( T ) 1/2 |< >|，稱為 相關長度. 我們有
這告訴我們，大小為 ~ m -1的域出現在場相關的地方。另一方面，遠遠超出 不存在相關性，因此由r >> 分開的點將屬於原則上希格斯場任意不同方向的域。在宇宙學環境中合併這些域之後，這反過來導致存在缺陷，即場配置無法順利匹配。
然而，當T T c我們有m 0 等 時 ，這可能表明對於空間的所有點，該場 都變得相關。這一事實顯然違反了因果關係。宇宙學模型中粒子視界的存在（與哈勃參數H -1的倒數成正比）限制了超出該因果域的距離的微物理相互作用。因此我們得到相關長度的上限 < H -1 ~ t。
存在不相關域的一般特徵已被稱為 Kibble 機制 [ Kibble，1976 年]，它似乎對大多數類型的相變都是通用的。
1.4. 拓撲缺陷的調查
希格斯場的不同模型會導致形成各種各樣的拓撲缺陷，具有非常不同的特徵和維度。一些提出的理論具有導致“疇壁”（鏡面反射離散對稱性）形成的對稱性破缺模式：難以置信的薄平面捕獲巨大的質能集中，這些質能將相互衝突的場方向的區域分開，類似於二維薄片鐵磁體中發現的類似結構。在其他理論中，宇宙場的分佈方式是舊的（對稱）相被限制在一個有限的空間區域，完全被新的（非對稱）相包圍。這種情況導致產生稱為“宇宙弦”的線性幾何缺陷。理論上的原因表明，這些弦（渦流線）沒有任何鬆散的末端，因此兩個相不會混淆。這使得無限弦和閉環成為這些缺陷在早期宇宙中表現出來的唯一可能選擇(4)。
通過更多的抽象，科學家們甚至設想了其他（半）拓撲缺陷，稱為“紋理”。這些在概念上很簡單的物體，然而，要想像它們並不容易，因為它們只是生活在三球真空流形（有效勢能的最小值）上的全局場配置，其非線性演化擾動時空。 圖羅克 [1989] 是第一個意識到許多統一理論預測存在稱為（紋理）結的奇特希格斯場配置的人，並且這些可能對宇宙學具有潛在意義。幾個特性使這些缺陷變得有趣。與疇壁和宇宙弦相比，紋理沒有核心，因此能量在空間上分佈更均勻。其次，它們是不穩定的，不會坍塌，而正是這最後一個特徵使這些物體在宇宙學上具有相關性，因為這種不穩定性使紋理結收縮到微觀尺寸，展開並輻射掉它們所有的能量。在這樣做的過程中，它們會產生一個引力場，以一種可以形成結構的方式擾動周圍的物質。
1.5. 它們存在的條件：拓撲準則
現在讓我們探討拓撲缺陷存在的條件。人們普遍認為，粒子物理學的最終目標是提供一個統一的規範理論，包括強相互作用、弱相互作用和電磁相互作用（有一天還包括引力）。這個統一理論是為了描述在非常高的溫度下的物理學，那時宇宙的年齡比普朗克時間稍大。在這個階段，宇宙處於一種可能具有最高對稱性的狀態，由對稱群G描述，拉格朗日模型對系統中所有可能存在的粒子和相互作用進行建模，在G的元素作用下應該是不變的。
正如我們之前解釋的，系統的有限溫度有效勢的形式在宇宙冷卻演化過程中會發生變化。這導致了一系列相變，在較低溫度下，開始時存在的一些對稱性不再存在。這些躍遷中的第一個可以描述為G H，其中現在H 代表統治系統的新的（較小的）完整對稱群。這個對稱性破缺鏈最終以 SU(3) × SU(2) × U(1) 結束，這是粒子物理學“標準模型”下的對稱群。
一個破缺的對稱系統（希格斯場具有墨西哥帽勢）可能有許多不同的最小值（具有相同的能量），所有這些都與潛在的對稱性相關。從一個最小值傳遞到另一個最小值作為原始群G的對稱性之一包含在內，並且系統不會因這樣的變換而改變。如果某個場配置產生系統的最低能態，則對稱群元素對該配置的轉換也將給出最低能態。例如，如果一個球對稱系統有一個特定的最低能量值，這個值不會隨著系統的旋轉而改變。
系統將嘗試最小化其能量，並自發地從可用的最小值中選擇一個。一旦完成並實現相變，系統就不再受G支配 ，而受較小群H的對稱性支配。因此，如果G H和系統處於最低能量狀態之一（稱為S 1 ），則G的元素將S 1轉換 為S 2將使能量保持不變。但是，H 的元素對S 1的變換將留下S 1本身 （而不僅僅是能量）不變。系統 S 1、S 2 ……的許多不同基態由G的所有變換給出，這些變換 與H中的元素無關。這個不同基態的空間稱為真空流形並表示為 。
是G的所有元素的空間，其中已識別出與H中的變換相關的元素。數學家稱之為陪集空間，記作G / H。然後我們有 = G / H。
研究真空歧管的重要性在於，正是拓撲結構決定 了將出現的缺陷類型。同倫理論告訴我們如何 以非平凡的方式映射到物理空間，以及隨之而來的缺陷會產生什麼。例如，不可收縮環的存在 是宇宙弦形成的必要條件。在形式語言中，只要我們有第一個同倫群 1 ( ) 1，就會發生這種情況，其中 1對應於平凡群。如果真空歧管斷開連接，則我們有 0 ( ) 1，並且預計在這些區域的邊界處形成疇壁，在這些區域中，場遠離勢能的最小值。類似地，如果2 ( ) 1則真空流形包含不可收縮的雙球體，隨後的缺陷是單極子。當包含不可收縮的三球體時出現紋理 ，在這種情況下它是第三同倫群 3 ( )，它是非平凡的。我們在表 1.1中總結了這一點。
2. 宇宙的缺陷
如果滿足其存在的條件，一般會產生拓撲缺陷。然後，例如，如果未斷開的群 H包含斷開連接的部分，如顯式 U(1) 因子（在文獻中討論的許多相變方案中很常見的東西），單極子將作為過渡的遺跡留下。這是由於陪集空間第二同倫群的基本定理 [ Mermin, 1979 ]，它指出對於單連通覆蓋群G我們有 (5)
其中H 0是與恆等式相關聯的完整群的組成部分。然後我們看到，由於單極子與G / H中的不可收縮曲面相關聯，如果H是多重連通的，則前面的等式暗示它們的存在。讀者可能會猜到 GUT 相變的後果是什麼：在大統一理論中，半單規範群G分幾個階段分解為 H = SU(3) × U(1)。因為在這種情況下 1 ( H ) ，整數，我們有 2 ( G / H ) 1因此存在規範單極子解 [ Preskill, 1979 ]。
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