本研究提出了一個分析弱耦合同質振子網絡的框架。利用網絡的對稱性，我們找到了動力學不變的相空間區域，僅因其時空對稱性存在（時間對稱性對應相位變化）。我們專注於對所有振子進行置換對稱的陣列（這是由全局耦合引起的），以及具有定向和雙向耦合的振子環。對於這些例子，我們對所有時空對稱性進行分類，包括相位同步振動和涉及相位變化的解，如極限週期解。我們還在一般條件下展示了"次最大"極限週期解的存在。我們定義了相空間的規範不變區域並用其來研究動力學。我們討論了極限週期解如何失去和獲得穩定性，以及對稱性如何產生結構穩定的異穿越週期，這是在沒有對稱性的系統中一般不會出現的現象。我們還研究了某些類型的耦合（包括具有對稱波形的振子之間的線性耦合）如何產生退化行為，其中振子分解為較小的群體。
關鍵詞：弱耦合振子，具有對稱性的分叉，結構穩定的異穿越週期
AMS/MOS 分類號：34C、58F
1. 引言：耦合振子
近年來，研究耦合振子動力學領域發生了爆炸性的增長。
自從Turing的開創性研究[32]關於形態發生以來，自然科學，尤其是生物學[37, 26, 24, 11, 23]（在[25]中進行了綜述）已經激發了對振子的研究，以試圖理解許多不同的穩定模式的存在。
對於電子系統[21, 3, 9]以及最近的Josephson結[20, 19, 30, 35, 8, 4, 29, 31]的研究也激發了類似的研究。通常，具體的模型已經被研究過，它們的動態已經被詳細地檢查，而可能錯過了結果的更一般性質。通常，僅通過考慮網絡的對稱性並使用群和奇點理論來顯示可能的分叉情況，我們就能談論到可能的動態行為。
Golubitsky和Stewart [15]在鄰近Hopf分岔的細胞環中進行了這方面的研究，他們發現了一些以前工作中未注意到的可能模式。
Swift [28]更詳細地研究了四個細胞的情況，並找到了從靜止狀態分支出的托盤的情景。本研究沿著這條線進行，但不是在Hopf分岔附近研究小振幅振盪，而是進行了弱耦合近似。這意味著結果適用於相當強的鬆弛振盪，但不適用於奇異振盪[17]。
Aronson等人進行了群論工作[5]，但這是對於具有Sn對稱性的Josephson結系統的強耦合情況。對於研究數學理論的動機之一就是電子振盪器的研究。
從Balthasar van der Pol [33, 34]開始，這個領域已經積累了大量的文獻，早期的論文在[21]中有引用。我們的論文源於對三個耦合相同的van der Pol振盪器系統的研究[6]，該研究發現，連接同相和反相振盪的托盤分支的存在可以通過弱耦合系統的對稱性很好地解釋。在這項工作中，我們研究具有對稱性的相同振盪器的一般系統並調查相空間的幾何結構。我們描述了一些由對稱性強制的動力學特徵（例如，具有完全對稱耦合的奇數振盪器的唯一一般分岔是Hopf分岔）。對稱性也可以引起病態動力學（例如，我們展示了結構穩定的異宿(heteroclinic)連接的存在）。
I.I. 弱耦合
許多物理系統由許多相同（或幾乎相同）的單torus成，這些單元之間的相互作用很弱。我們可以將整個系統描述為未耦合系統的一個微擾；也就是說，系統與幾個動力系統的乘積系統之間存在著連續的路徑。即使是強耦合的振盪器系統，也必須具有一個弱耦合極限（在某種數學意義上），以便能夠使用"振盪器"這個詞。我們假設振盪器是耗散的，因此在某個鄰域內，週期軌道是吸引且唯一的。
當振盪器弱耦合時，重要的動力學關係涉及振盪器的相對相位。沒有耦合時，存在一個吸引的n-torus（Tn），每個振盪器對應一個角度。可以選擇坐標，使得動力學在（1, 1, 1 ..... 1）方向上是線性流動，且相位差不變。
這個torus通常是雙曲的，因此在小的耦合下，n-torus仍然存在，相位差會慢慢演化。使用的特殊坐標給系統增加了額外的圓形對稱性，對應於每個振盪器的相位平移。
在這些"自然坐標"下的動力學是弱耦合振盪器系統動力學的正規形式。如果振盪器系統的對稱性是Γ，則正規形式的對稱性是Γ×T1，其中1-torus（T1）或圓表示相位平移的對稱性。
這與Golubitsky和Stewart [14, 15]對具有對稱性的Hopf分岔的正規形式具有Γ×S1對稱性是相似的。（我們更喜歡使用T1而不是等價的S1。）
在Hopf分岔附近，每個振盪器的相位和振幅都很重要，正規形式的相空間是Cn。
雖然在大部分情況下，弱耦合產生的動力學比靠近Hopf分岔的動力學更簡單，但由於Tn的拓撲複雜性，還存在一些有趣的複雜性。Hopf分岔理論提供了局部信息，但是對於弱耦合，這些結果在整個n-torus上是成立的。
我們的平均方法雖然非標準，但並不新穎[7]。然而，我們是第一個認識到Golubitsky和Stewart的技術可以修改，以在弱耦合情況下給出強大的一般結果。
我們研究的主要對稱群是F = Sn、Zn和Dn（分別具有n！、n和2n的阶）。如果每個振盪器與其他振盪器具有相等的耦合，則網絡具有Sn對稱性，即所有n個對象的排列組合的對稱群。
近年來，這種對稱性在Josephson連接的網絡中引起了很多關注[20, 19, 30, 35, 8, 4, 29, 31]。循環群Zn描述的是具有最近鄰耦合並偏好一個方向的振盪器環。在沒有特定偏好方向的情況下，對於Turing的一個環的振盪器問題（F = Dn），已經做了更多的工作。
例如，Golubitsky和Stewart [14, 15]對Hopf分岔附近的Turing環的動力學進行了研究。Ermentrout [10]研究了Dn-等變振盪器系統在Hopf分岔附近和弱耦合時的情況。
T1的相位平移對稱性對應於時間平移。因此，我們將振盪的對稱性稱為其時空對稱性，它是Γ×T1的子群。
我們對具有對稱群Γ = Sn、Zn或Dn的弱耦合振盪器網絡中的任何周期性振盪的時空對稱進行了分類。例如，當Γ = Sn時，時空對稱群（共軛上）與使用整數m > 1和k1 > k2 > ... > k_l > 1寫n = re(k1 + … + ke)的方法一一對應。
我們展示了Sn的相空間是一個稱為典型不變區域的群軌道的軌跡，並引入了這個單純形式的標準投影到平面上。通過檢查對稱性的動力學結果，我們計算了一些周期軌道的穩定性並預測了其通用的分岔。我們還預測了具有"亚最大"對稱性的周期軌道的通用存在性。全局動力學顯示了在具有S2k和D4k對稱性的網絡中可能存在結構穩定的異宿連接循環。
最後，我們展示了額外的假設，例如最近鄰耦合和振盪器的內部對稱性，可以導致動力學的解耦。
特別是，如果方程具有Γ = S_n的m重內部對稱性，則如果n = mk，我們得到具有對角流的k維圓柱面。這樣的n torus被限制於具有k + 1個零Floquet指數的極限週期軌道。類似地，當F = D4k並且網絡具有雙重內部對稱性時，存在具有對角流的二維圓柱面。這擴展了[1, 28]對於弱耦合情況下沒有Hopf分岔的觀察。
在討論群和它們的作用時，我們通常使用Golubitsky、Stewart和Schaeffer的符號[16]，並建議讀者參考他們關於等變分岔理論的詳細資料。
在本討論中，考慮群Γ對流形M的作用，即對於x屬於M和γ屬於F，x映射到yx屬於M。點在M中的對稱性由其isotropy 子群描述：
定義1.1. 假設群F對流形M進行作用。點x屬於M的isotropy 子群，表示為E(x)，是保持該點不變的F的子群。因此，E(x) = {γ屬於Γ：γx = x}。E(x)也被稱為點x的isotropy 性或對稱性。
我們通常將isotropy 子群的共軛視為相同。回顧一下，如果存在γ屬於Γ，使得E' = γ'⁻¹Eγ，則E和E'是共軛的。
如果E = E(x)對於某個x屬於M，則我們說E是Γ的isotropy 子群，而無需引用任何點。（請注意，並非所有的F的子群都是isotropy 子群。）isotropy 子群之間存在部分順序，即isotropy 格，由E₁ < E₂給出，如果存在γ屬於F，使得γ⁻¹E₁γ是E₂的真子群。我們還使用"<"表示真子群。
定義1.2. isotropy 子群E的固定點子空間，表示為fix(E)，是M中在E的作用下不變的點的集合：fix(E) = {x屬於M：對於所有的γ屬於E，γx = x}。fix(E)中點的isotropy 子群可能比E更大。也就是說，如果x屬於fix(E)，則有E(x) < E。請注意，固定點子空間在群的作用下保持不變。
到目前為止，還沒有提到向量場動力學的固定點。
定義1.3. 在M上給定的常微分方程（ODE）x'=f(x)是Γ-等變的，如果向量場f與群Γ的作用相交換，即對於所有的γ屬於Γ，f(γx) = γf(x)。
我們將向量場的零點稱為固定點，不應與固定點空間混淆。
引理1.1. 對於E，F的isotropy 子群，fix(E)在F-等變向量場的動力學下是流不變的。
證明. 對於所有的x屬於fix(E)和所有的γ屬於F，γf(x) = f(γx) = f(x)。因此，f(x)本身屬於fix(E)，並且fix(E)是x’=f(x)的軌跡的聯合。
在本文中，我們定義T₁={z屬於C：|z|=1}和τ1=R/(2πZ)。這兩種表示方法的一維圓柱面（即圓）可以互換使用，取決於哪一種更方便。
2. 平均化和歸約至正規型
定義 2.1. 振子是由以下常微分方程所描述的動力系統：
x' = f(x, λ) (1)
其中 x 屬於 X 是振子的相空間，A 屬於 R 是一個參數，且該方程具有一個隨 A 平滑變化的漸近穩定極限環 {γ(t)}。
為了方便起見，我們通過對時間進行重新縮放，將週期規範化為 27π。相空間 X 可能包括 R^m，m >= 2，T^m，m >= 1，以及鉛錘相空間 R × T 1。我們的結果還適用於受偏微分方程控制的振子（在此情況下，X 是 Banach 空間），但需要一些技術性的假設。
定義 2.2. 一個 C^k 弱耦合相同振子的網絡是由以下形式的常微分方程所描述的動力系統：
x' = f(x, A, ε) (2)
其中
- x = (x₁, x₂, ..., xₙ, y) ∈ Xⁿ × Y 是相空間變量（Y = R^m，m >= 0），
- A ∈ R 是分叉參數，
- ε ∈ R 是耦合強度參數，
且滿足以下條件：
- f 在 x、λ 和 ε 中是 C^k 的，
- f(x, λ, 0) = (f(x₁, λ), ..., f(xₙ, λ), g(y, λ))，其中 f 在 X 上定義了每個組件中相同的振子，g 在 Y 上定義了一個在原點具有穩定超穩定點的函數。
此定義表示，在 ε = 0 時，當振子無耦合時，存在一個吸引的 n-鏈，其中包含週期為 2π 的周期軌道。這是因為在適當的鄰域中，每個 xᵢ都被引導到極限環 {γ(t)}，因此 x 將被引導到由 {xᵢ = γ(t + θᵢ), y = 0, θ ∈ τⁿ} 定義的 n-鏈上的一個極限環。
當 ε = 0 時，這定義了不變 n-鏈的座標系統 θ -- (θ₁, ..., θₙ)。
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